Верхний предел последовательности событий (теорвер)

[ihq.pl]

Всем привет. Пусть есть последовательность событий $A_1,A_2,...$.
Определение верхнего предела этой последовательности в интерпретации теории множеств:

$$\overline{\lim}A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty A_k.$$

Соответствующее определение в интерпретации теории вероятностей: множество исходов $\omega$, которые бесконечное число раз (бесконечно часто) встреча­ются в последовательности $A_1, A_2,...$ (© Ширяев, Вероятность-I)

Как я понимаю, определение в интерпретации теории множеств можно переформулировать в

$$\overline{\lim}A_n = \lim_{n\to\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k.$$

Пусть для большей ясности $A_i\cap A_j=\varnothing$ для всех $i\neq j$. Тогда

$$\overline{\lim}A_n = \varnothing.$$

Как должно прозвучать это в интерпретации теории вероятностей?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1614610 писал(а):

Как я понимаю, определение в интерпретации теории множеств можно переформулировать в

$$\overline{\lim}A_n = \lim_{n\to\infty} \bigcup_{k=n}^\infty A_k.$$

Вообще в теории множеств предел по множествам обычно не пишут - это запутывает и избыточно, раз есть значки произведений и пересечений.

ihq.pl в сообщении #1614610 писал(а):

Как должно прозвучать это в интерпретации теории вероятностей?

Да также: если события попарно не пересекаются, то верхний предел их последовательности пуст.

[ihq.pl]

mihaild
то есть множество исходов, которые бесконечно часто встречаются в последовательности, пусто... пичалька
У Ширяева знак предела по множествам очень даже используется. Например, $A = \lim_n A_n$ (т.е. $A=\overline{\lim}_n A_n = \underline{\lim}_n A_n$) - это оттуда

[ihq.pl]

Не получается получить определение верхнего предела в интерпретации теории множеств из определения в интерпретации теории вероятностей.
Пусть $B$ есть множество исходов, которые бесконечно часто встречаются в $A_1,A_2,...$
Надо показать, что

$$B = \bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k. \quad\quad (1)$$

Не понимаю, как определить "бесконечно часто". Если так: "$\omega$ содержится во всех членах последовательности, кроме конечного числа", то прихожу к определению нижнего предела последовательности:

$$\varliminf_n A_n = \bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_n.$$

Допустим, формула (1) не известна. Как надо рассуждать, чтобы получить её?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1614637 писал(а):

Не понимаю, как определить "бесконечно часто".

Как "сколько бы мы не ждали, все появления мы не пропустим, всегда будут еще".

[ihq.pl]

mihaild
то есть исход $\omega$ будет содержаться в одном из множеств $A_n,, A_{n+1},...$ для любого $n$. После подсказки выглядит вполне логично Спасибо!

[ihq.pl]

Подумалось, что задаваться подобными вопросами смысла особого нет. Скорее всего, верхний и нижний пределы если и представляют интерес, то только для того, чтобы выяснить, существует ли предел последовательности. Пересечение множеств $A_n, A_{n+1},...$ монотонно возрастает вместе с $n$ и в пределе сходится к

$$\bigcup_{n\geqslant 1}\bigcap_{k\geqslant n} A_k.$$

А их объединение монотонно убывает и сходится к

$$\bigcap_{n\geqslant 1}\bigcup_{k\geqslant n} A_k.$$

Если эти пределы совпадают, то предел последовательности существует.

У Ширяева есть, на мой взгляд, более наглядное определение верхнего и нижнего пределов:

$$\varliminf A_n = \lim_{n\to\infty}\inf_{k\geqslant n}A_k, \quad \varlimsup A_n = \lim_{n\to\infty}\sup_{k\geqslant n}A_k$$