Последовательность, содержащая n^n

[artempalkin]

Задача из Кудрявцева том 1, пар 8, 100 (1)
Доказать, что $\lim x_n=+\infty$, если $x_n=\frac{(n+1)(n+2)\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot 2n}{n^n}$.

Можно пойти по "признаку Даламбера", так сказать и рассмотреть $\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac4e$, что, конечно, отвечает на наш вопрос, но я что-то не особо встречал такого рода подходов... хотелось бы какой-то мудрой оценкой или теоремкой... не подскажете?

[dgwuqtj]

Ну так есть формула Стирлинга, в числителе у вас как раз отношение факториалов. Просто вряд ли предполагается её использование.

[artempalkin]

dgwuqtj в сообщении #1614594 писал(а):

Просто вряд ли предполагается её использование.

Нет, хочется как-то мило и симпатично решить, без привлечения тяжелой артиллерии

[lel0lel]

Прологарифмировать и посмотреть сколько слагаемых больше $\log 3/2$

[artempalkin]

lel0lel в сообщении #1614598 писал(а):

Прологарифмировать и посмотреть сколько слагаемых больше $\log 3/2$

Да, согласен. В целом это можно и без логарифмирования. Спасибо!

[Shadow]

Можно попарно уможить первое с последим, второе с предпоследним... и делить на $n^2$

$\dfrac{(n+k)(2n-k+1)}{n^2}>2$

[Евгений Машеров]

А расходимость гармонического ряда предполагается известной?

[svv]

$x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\ldots\left(1+\frac{n}{n}\right)>1+\frac 1 n+\frac 2 n+\ldots+\frac n n=\frac{3+n}{2}$

[artempalkin]

Shadow в сообщении #1614604 писал(а):

Можно попарно уможить первое с последим, второе с предпоследним... и делить на $n^2$

$\dfrac{(n+k)(2n-k+1)}{n^2}>2$

Кажется, это самое красивое, спасибо :)

-- 27.10.2023, 11:13 --

Евгений Машеров в сообщении #1614679 писал(а):

А расходимость гармонического ряда предполагается известной?

Нет, но это несложно доказать даже имеющимися средствами, а как вы хотели это применить?

svv в сообщении #1614700 писал(а):

$x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\ldots\left(1+\frac{n}{n}\right)>1+\frac 1 n+\frac 2 n+\ldots+\frac n n=\frac{3+n}{2}$

Да, тоже очень простое, спасибо!

-- 27.10.2023, 11:21 --

Я вот думаю, а нельзя ли тут как-то подпихнуть теорему Штольца?..