Восстановить группу Ли по алгебре Ли

[dgwuqtj]

У вас есть две группы, $\mathbb R^2$ и $\mathbb R$ (как-то вложенные в $\mathrm{GL}_3(\mathbb R)$). Причём вторая нормализует первую, это прямо на уровне алгебр Ли видно, ну или можно проверить вычислением. А ещё они имеют тривиальное пересечение.

[AndrewGap]

А, ну я предположу, что я просто забыл определение полупрямого произведения подгрупп Ли. Если я сейчас верно вспомнил, то $G$ есть полупрямое произведение подгрупп $G_1$ и $G_2$, если 1) $G_1$ нормальна в $G$ (это как раз следует из того, что соответствующая алгебра Ли есть идеал в нашей алгебре) 2) $G_1G_2 = G$ 3) $G_1$ и $G_2$ пересекаются лишь по единичному элементу. Тогда действительно искомая группа Ли есть полупрямое произведение.

-- 24.10.2023, 22:14 --

В следующем пункте мне нужно описать все связные группы Ли с данной алгеброй Ли. Я так понимаю, мне здесь нужно воспользоваться тем, что всякая связная группа Ли будет фактором своего универсального накрытия по некоторой дискретной подгруппе центра этого универсального накрытия. У меня есть наивное предположение, что универсальное накрытие для нашего полупрямого произведения будет изоморфно $\mathbb{R}^{3}$ или я всё же ошибаюсь сейчас?