Доказать по индукции

[derlim]

Решаю задачу 2.11 к) из задачника Кострикина. Нужно доказать по индукции вот это равенство.

$$\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{p(p+1)...(p+i-1)}{i!} = \frac{(p+1)...(p+n)}{n!}$$

Индукционный переход делается легко, а вот базу индукции я доказать не могу. Кроме того, при i = 0 в числителе в левой части получается p-1, что для меня выглядит, как ошибка. Подскажите пожалуйста, я чего-то не понимаю, или действительно в упражнении допущена опечатка?

[dgwuqtj]

При $i = 0$ в числителе вообще будет $1$. Запись с многоточием - это неформальное сокращение от $\prod_{j = 0}^{i - 1} (p + j)$, при $i = 0$ произведение пустое, при $i = 1$ это $p$, при $i = 2$ - $p(p + 1)$, ну и так далее.

[derlim]

dgwuqtj в сообщении #1613749 писал(а):

При $i = 0$ в числителе вообще будет $1$. Запись с многоточием - это неформальное сокращение от $\prod_{j = 0}^{i - 1} (p + j)$, при $i = 0$ произведение пустое, при $i = 1$ это $p$, при $i = 2$ - $p(p + 1)$, ну и так далее.

В таком случае при $n = 1$ слева получается $p$, а справа $p+1$, разве нет?

[dgwuqtj]

Нет, слева $\frac 1{0!} + \frac p{1!} = p + 1$. А вот при $n = 0$ в обеих частях будет $1$.

[derlim]

Всё, понял. Спасибо!

[TOTAL]

$$\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{p(p+1)...(p+i-1)}{i!} = \frac{(p+1)...(p+n)}{n!}$$

Вот так ещё можете заменить для проверки

$$\frac{p(p+1)...(p+i-1)}{i!} = C_{p+i-1}^{i} = C_{p+i}^{i}-C_{p+i-1}^{i-1}$$

[derlim]

Да, теперь всё ясно. Мне просто было не очевидно, что в данных обозначениях пустое произведение означает 1.