Несобственный интеграл из Кудрявцева

[artempalkin]

Это задание из Кудрявцева том 3, 2(6)
Используя интеграл Дирихле, вычислить интеграл:

$$\int\limits_0^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}dx$$

Взять такой интеграл вполне реально, достаточно рассмотреть вот такой

$$I(\lambda)=\int\limits_0^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}e^{-\lambda x}dx$$

на каком-нибудь промежутке $\lambda\in[\alpha,+\infty),\ \alpha>0$, чтобы он и его "производные" сходились равномерно, взять три производные, там интеграл возьмется, и далее интегрировать уже по $\lambda$, используя граничные (или предельные) условия. Я даже почти довел эту работу до конца, но несколько "заколебался".

Подскажите, есть ли еще какой-то способ, возможно, побыстрее, взять такой интеграл? В моем способе вроде как не особо фигурирует интеграл Дирихле. Но в любом случае, если найдется какой-то красивый способ, например, через вычеты, буду благодарен!

[GAA]

Свести к интегралу Дирихле при помощи интегрирования по частям (два раза).
Выбирать в $\int u dv = uv - \int v du$ числитель в качестве $u$, а остальное — в качестве $dv$.

-- Mon 16.10.2023 18:47:32 --

Т.е. при первом интегрировании по частям $u = x -\sin x$.

[artempalkin]

GAA в сообщении #1613613 писал(а):

Свести к интегралу Дирихле при помощи интегрирования по частям (два раза).
Выбирать в $\int u dv = uv - \int v du$ числитель в качестве $u$, а остальное — в качестве $dv$.

Дааа, ларчик просто открывался :) Забавно, насколько это проще моего способа. Спасибо!