2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос по теории вероятности
Сообщение15.10.2023, 20:40 
В учебнике Ширяева в начале параграфе "Интеграл Лебега. Математическое ожидание" доказывается следующее свойство математического ожидания: $$\textit{если}\;\xi=0\; \textit{(п.н.), то}\; \mathsf{E}\xi = 0. \qquad (1)$$ Определение: говорят, что некоторое свойство выполняется почти наверное (п.н), если существует множество $B$ такое, что $\mathsf{P}(B) = 0$, и это свойство выполнено для каждой точки $\omega\in\Omega\setminus B$.

В этом же параграфе чуть ниже вводится функция множеств $$\mathsf{Q}(A) = \int\limits_A\eta(\omega) d\mathsf{P},$$ где $\eta$ - случайная величина, для которой определено математическое ожидание. Отдельно доказывается, что $$\textit{если}\; \mathsf{P}(A) = 0, \textit{то}\; \mathsf{Q}(A) = 0.$$ Сначала это доказывается для случая, когда $\eta$ - неотрицательная простая сл. величина; затем для случая, когда $\eta$ есть предел монотонной последовательности простых случайных величин;

Вопрос. Почему просто не сослаться на свойство (1)? Ведь $\mathsf{Q}(A) = \mathsf{E}[\eta I_A],$ а $\eta I_A = 0 (п.н.) ($I_A(\omega) $ - индикатор множества $A$).

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group