Кубическое уравнение в конечном поле

[btnlq]

При каких простых $p \geqslant 5$ уравнение $x^3 - 3x + 1 = 0 \bmod p$ имеет решения? Вычисления показали, что уравнение имеет 3 решения при $p = \pm 1 \bmod 9$ и не имеет решений в противном случае (проверил для всех $p < 10^5$). Как это доказать?

[dgwuqtj]

Давайте сначала посчитаем корни в кольце комплексных чисел, целых над $\mathbb Z[\frac 16]$. По формуле Кардано корни имеют вид $\alpha + \frac{1}{ \alpha}$, где $\alpha^3 = \frac{-1+ i \sqrt 3} 2 = \omega$ (нетривиальный кубический корень из 3). То есть $\alpha$ - это первообразный корень из 9. В случае, когда $p^2 - 1$ делится на 9 (это как раз ваш случай), первообразный корень лежит в конечном поле $\mathbb F_{p^2}$, так что там исходное уравнение имеет все 3 корня. Следовательно, хотя бы один корень попал в $\mathbb F_p$. В обратную сторону, если корень есть в $\mathbb F_p$, то $\alpha \in \mathbb F_{p^2}$ (как корень квадратного уравнения), то есть $p^2 - 1$ делится на 9.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.