Преобразования Гильберта для вх. сопротивления цепи

[Dmytro]

Из книги Боде "Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью" следует, что реактивную часть входного сопротивление пассивной цепи можно восстановить по известной в диапазоне частот активной части входного сопротивления:
$X\left( w \right) = \frac{1} {\pi }\int\limits_0^\infty {\frac{{dR(\lambda )}} {{d\lambda }}} \ln \left( {\frac{{\lambda + w}} {{\lambda - w}}} \right)d\lambda $

В разных научных статьях утверждается, что активная и реактивная часть входного сопротивления цепи связаны преобразованием Гильберта:

$X\left( w \right) = - \frac{1} {\pi }\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{R\left( \lambda \right)}} {{w - \lambda }}} d\lambda $

Возможен ли вывод одного интеграла из другого? Или они выводились из совершенно разных предпосылок?

Сопротивления в частотной области области можно представить кусочно линейной аппроксимацией
$R\left( w \right) = \sum\limits_{n = 1}^N {r_n \cdot a_n \left( w \right)} $
$a_n \left( w \right) = \left\{ \begin{gathered} 1,\,w > w_n \hfill \\ \frac{{w - w_{n - 1} }} {{w_n - w_{n - 1} }},\,w_{n - 1} < w < w_n \hfill \\ 0,\,w < w_{n - 1} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

И используя формулу Боде посчитать реактивное сопротивление:
$X\left( w \right) = \sum\limits_{n = 1}^N {r_n \cdot b_n \left( w \right)} $
$b_n \left( w \right) = \frac{1} {{\pi \left( {w_n - w_{n - 1} } \right)}}\int\limits_{w_{n - 1} }^{w_n } {\ln \left| {\frac{{\lambda + w}} {{\lambda - w}}} \right|} \,d\lambda $

Должен ли при таком расчете результат сильно зависеть от количества точек, которые представляют зависимость активного сопротивления. При том, что некоторое количество точек, которые действительно являются дискретными отсчетами реального зависимости сопротивления, остальные же получаются просто путем линейной аппроксимации между ними.

Получается, что для достоверного результата необходимо вносить дополнительные точки. Но не могу понять зачем.

Заранее спасибо за помощь.

[Gafield]

При подходящих предположениях относительно $R$ вроде гладкости и быстрого убывания на бесконечности вместе с производной первая формула получается из второй интегрированием по частям.

Цитата:

Получается, что для достоверного результата необходимо вносить дополнительные точки. Но не могу понять зачем.

Чем мельче разбиение, тем больше сумма похожа на интеграл