Верно ли доказываю, что множество выпукло? - 2

[Verbery]

Всем доброго времени суток! Надеюсь, что тут не сильно костыляют за однотипные вопросы, но мне хотелось бы обсудить ещё одно простенькое упражненьице по выпуклости

Как думаете выпукло ли такое множество или нет: $C=\left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n| \|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\|\leq \text{dist}(\mathbf{x}, T)\right\},$ где $T\subseteq \mathbb{R}^n$ - некоторое множество, $\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n$

Можно ли принять такое доказательство? Докажем, что множество $C$ невыпукло, для этого приведём контрпример. Возьмём две точки из множества $C$: $x_1$, $x_2$ с такими условиями: $||x_1 - x_0|| = ||x_2 - x_0|| = dist(x_1, T) = r$, теперь возьмём точку между ними: $z = \alpha x_1 + (1 - \alpha) x_2$ и изогнём множество $T$ так, чтобы оно приближалась к точке $z$ достаточно близко, чтобы $dist(z, T) < r$, отсюда видно, что $z$ не входит в множество $C$, а значит оно не выпукло

Примечание Однако множество выпукло, если оно шар с радиусом $r = \min{dist(x, T)}$, но в задаче такого условия нет

[KhAl]

правильный ответ — не да и не нет

правильный ответ — зависит от $T$.

на какой вопрос отвечает ваше доказательство?

[Утундрий]

Verbery
Вы это сами сочиняете или берёте откуда-то?

[Verbery]

KhAl в сообщении #1613020 писал(а):

на какой вопрос отвечает ваше доказательство?

Ну, в данном случае я отвечаю на вопрос при условиях задачи множество выпукло или нет? Так как нужны дополнительные условия для выпуклости, то ответ мой ответ нет :) Я думал может я что-то упускаю

Утундрий в сообщении #1613030 писал(а):

Вы это сами сочиняете или берёте откуда-то?

Это из пособий по выпуклому анализу

[Утундрий]

Verbery в сообщении #1613081 писал(а):

Это из пособий по выпуклому анализу

Или вы его невнимательно читаете, или оно злокачественное.

[KhAl]

Verbery
в условиях задачи множество может быть выпукло или невыпукло в зависимости от T, так что ваш ответ на этот вопрос неверен. так на какой вопрос вы отвечаете?

[Verbery]

KhAl в сообщении #1613364 писал(а):

в условиях задачи множество может быть выпукло или невыпукло в зависимости от T, так что ваш ответ на этот вопрос неверен. так на какой вопрос вы отвечаете?

Отвечал на вопрос "Всегда ли выпукло множество при данных условиях". Так как для выпуклости нужны дополнительные ограничения на $T$, то мой ответ нет

[KhAl]

Цитата:

Отвечал на вопрос "Всегда ли выпукло множество при данных условиях".

вот так и надо было сразу формулировать, а то люди путаются. ещё вопросительный знак ради приличия можно было поставить, но это мелочи.

-- 14.10.2023, 12:01 --

насчёт доказательства.

у Вас было множество $T$ и соответствующее ему множество $C$. Вы взяли $x_1, x_2$ из $C$, и смотрите на $\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2$.
Затем Вы деформировали $T$, получив какое-то новое множество $T'$. Ему соответствует какое-то новое $C'$. Вы нашли, что $\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2 \notin C'$, в то время как $x_1 \in C$, и $x_2 \in C$.
Как это противоречит выпуклости $C$?

[Verbery]

KhAl в сообщении #1613451 писал(а):

у Вас было множество $T$ и соответствующее ему множество $C$. Вы взяли $x_1, x_2$ из $C$, и смотрите на $\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2$.
Затем Вы деформировали $T$, получив какое-то новое множество $T'$. Ему соответствует какое-то новое $C'$. Вы нашли, что $\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2 \notin C'$, в то время как $x_1 \in C$, и $x_2 \in C$.
Как это противоречит выпуклости $C$?

$C'$ можно представить как один из вариантов множества, которое соответствует условиям задачи. В тоже время, мы показали контрпример, который показал, что оно не является выпуклым. Соответственно имея заданные условия нельзя заявлять о том, что множество $C$ выпукло.

Возможно условие правда слишком расплывчато, тут конечно согласен. Но изначально хотел узнать всегда ли выпукло множество соответствующее данным условиям

[KhAl]

Verbery писал(а):

В тоже время, мы показали контрпример, который показал, что оно не является выпуклым

проще было сразу предъявить $T$, для которого соответствующее $C$ не будет выпуклым (советую так и сделать, а на своё решение забить). а по вашему доказательству миллион вопросов:

почему в $C$ были точки $x_1$, $x_2$ с такими свойствами (или вообще какие-либо точки), как мы деформируем $T$, почему после деформации в $C'$ останутся точки $x_1$, $x_2$ (это нужно для итогового противоречия) зачем обозначать новое множество так же, как и старое, к чему это странное примечание...