Свертка Дирихле и Обращение Мебиуса для мультипликатив. а.ф.

[vicvolf]

Известна формула для Свертки Дирихле:
$f*g(n)=\sum_{d/n}{f(d)g(n/d)$. (1)

На основании (1) для мультипликативных арифметических функций $f,g$ для произвольного простого $p$ имеем:
$f*g(p)=f(1)g(p)+f(p)g(1)=g(p)+f(p)$.(2)

На основании (2) получаем Обращение Мебиуса для мультипликативной арифметической функции $f$ для произвольного простого $p$:
$f*\mu(p)=f(p)-1$.(3)

На основании (1) для мультипликативных арифметических функций $f,g$ для произвольного простого $p$ имеем:
$f*g(p^n)=f(1)g(p^n)+f(p)g(p^{n-1})+...+f(p^n)g(1)$$=g(p^n)+f(p)g(p^{n-1})+...+f(p^n)$. (4)

На основании (4) получаем Обращение Мебиуса для мультипликативной арифметической функции $f$ для произвольного простого $p$:
$f*\mu(p^n)=f(p^n)-f(p^{n-1})$. (5)

При $n=p^{a_1}...p^{a_k}$ для мультипликативных арифметических функций $f,g$ на основании (4) имеем:
$f*g(p^{a_1}...p^{a_k})=\prod_{i=1}^k{(g(p^{a_i})+f(p)g(p^{a_i-1})+...+f(p^{a_i}))}$.(6)

При $n=p^{a_1}...p^{a_k}$ на основании (5) получаем Обращение Мебиуса для мультипликативной арифметической функции $f$:
$f*\mu(p^{a_1}...p^{a_k})=\prod_{i=1}^k{(f(p^{a_i})-f(p^{a_i-1}))}$.(7)

Пожалуйста, если кто-то встречал подобные формулы, то дайте ссылку?

[KhAl]

vicvolf писал(а):

получаем Обращение Мебиуса для мультипликативной арифметической функции $f$:

Свёртка мультипликативных функций мультипликативна, а множитель в правой части это $f * \mu(p^{a_i})$. Не знаю, что Вы нашли в этой формуле.

[vicvolf]

KhAl в сообщении #1616471 писал(а):

Не знаю, что Вы нашли в этой формуле.

Я просто не нашел этих формул в литературе, чтобы дать на них ссылку. Если это известные формулы, то , пожалуйста, дайте литературу, где они приведены. Вот Вы сразу привели формулу (5). А где она есть? Я например, пришел к этой формуле, через формулы (1) и (4).