Для того, чтобы понять, какой отклик будет у линейной стационарной системы с импульсной характеристикой
![$h[n]$ $h[n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/8/918b2da4bfe0bc0c4e43f892742e0c2182.png)
на входное воздействие
![$x[n]$ $x[n]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/2/8e212dd56f6fbff804bb027c5bb06ee782.png)
, нужно посчитать свёртку
![$x[n] \ast h[n]$ $x[n] \ast h[n]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/9/66975e46b13a4d48d2be9852bb07392c82.png)
. Можно использовать теорему о свёртке:
![$\mathcal{F} (x[n] \ast h[n])=\mathcal{F} (x[n])\cdot \mathcal{F} (h[n])$ $\mathcal{F} (x[n] \ast h[n])=\mathcal{F} (x[n])\cdot \mathcal{F} (h[n])$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/f/25fe033093e1cda2da5ed4a238ab0e1682.png)
, где

- оператор преобразования Фурье.
Мне не особо ясно, как действовать со следующими функциями:
![$x[n]=u[n]=\begin{cases}1,&n\geq 0\\0, &n<0\end{cases}$ $x[n]=u[n]=\begin{cases}1,&n\geq 0\\0, &n<0\end{cases}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/b/07b2c22787215657be8bf604d24359bb82.png)
и
![$x[n]=\frac{\sin{\omega_c n}}{\pi n_0}$ $x[n]=\frac{\sin{\omega_c n}}{\pi n_0}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/c/d9cf14b44730ca3e5495f1f50522573582.png)
.
Мы имеем:
![$\mathcal{F}(u[n])=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta (\omega+2\pi k)$ $\mathcal{F}(u[n])=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta (\omega+2\pi k)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/3/3f3c712e43f5531fc068949bcb46957482.png)

Что с этим делать на практике я не понимаю. Приведу 2 примера, которые в книге идут прямо подряд.
Задача 1.Определите отклик линейной стационарной системы с импульсной характеристикой
![$h[n]=a^n u[-n-1],a>1$ $h[n]=a^n u[-n-1],a>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3ea70f3b6087ff54cc3f61aadba302882.png)
на сигнал
![$x[n]=u[n]$ $x[n]=u[n]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/e/ede583f946e168c7e9d43ee64f4acf3882.png)
.
Решение:1)Сразу понятно, что нужно применить теорему о свёртке. Воспользуемся свойством
![$\mathcal{F} (x[-n])=X(e^{-j\omega})$ $\mathcal{F} (x[-n])=X(e^{-j\omega})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/2/3f28064807b7f4d557329ac8b6b152d682.png)
.
![$\mathcal{F}(h[-n])=H(e^{-j\omega})=\mathcal{F}(\frac{a}{a^{n+1}}u[n+1])=\frac{e^{j\omega}}{1-\frac{1}{a}e^{-j\omega}}$ $\mathcal{F}(h[-n])=H(e^{-j\omega})=\mathcal{F}(\frac{a}{a^{n+1}}u[n+1])=\frac{e^{j\omega}}{1-\frac{1}{a}e^{-j\omega}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/5/9e550e7bb9d0d14614bcc62a9ac23dc082.png)
, тогда

2)
![$\mathcal{F}(u[n])=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta (\omega+2\pi k)$ $\mathcal{F}(u[n])=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta (\omega+2\pi k)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/3/3f3c712e43f5531fc068949bcb46957482.png)
3)Вот теперь полученные результаты нужно перемножить:
![$\mathcal{F}(x[n]\ast h[n])=\frac{e^{-j\omega}}{(1-e^{-j\omega})(1-\frac{1}{a}e^{j\omega})}+\frac{e^{-j\omega}}{1-\frac{1}{a}e^{j\omega}}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta (\omega +2\pi k)$ $\mathcal{F}(x[n]\ast h[n])=\frac{e^{-j\omega}}{(1-e^{-j\omega})(1-\frac{1}{a}e^{j\omega})}+\frac{e^{-j\omega}}{1-\frac{1}{a}e^{j\omega}}\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta (\omega +2\pi k)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/e/64e8a41bb0da5d35fdb24dbc9e21f5cb82.png)
4)Первую дробь я разложил так (не проверял, но тут понятно, что это в принципе возможно свести к сумме дробей, от которых можно по табличке найти обратное преобразование Фурье):
Вопрос: что делать с оставшейся частью? Тут нужно использовать тот факт, что частоты, отличающиеся на

, нельзя различить? Обычно АЧХ рассматривают при

, тут нужно делать так? В таком случае сумма эта равна нулю на всех частотах, кроме нулевой - там она равна

. Как от этого всего брать обратное преобразование Фурье даже при всём этом не понимаю - на разных частотах получается либо 0, либо
![$\pi a^n u[-n-1]$ $\pi a^n u[-n-1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/2/a82d8928199d94181aaedd1bf48d257382.png)
.
Задача 2.Рассмотрите линейную стационарную систему с КЧХ

при

. Определите отклик
![$y[n]$ $y[n]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/3/a831570c6ea0ed26fbcbed704c6bdea882.png)
системы, если входной сигнал описывается последовательностью
![$x[n]=\sin{(\frac{\pi n}{4})}$ $x[n]=\sin{(\frac{\pi n}{4})}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/b/efb5c44d5b36a707249efe1295e9ee2b82.png)
.
Решение:1)Опять же, нужно применять теорему о свёртке. В нашем случае имеем:

) при

и

(в свойстве не дано никак ограничений на

. Есть у меня подозрение, что

).
2)И вот опять та же проблема. На разных частотах получаем либо 0, либо просто обратное преобразование Фурье от данной КЧХ. Не понимаю, что делать.