Случайное блуждание и достижимость состояний

[Sdy]

Пусть мы определяем случайное блуждание по целочисленной прямой как сумму независимых одинаково распределённых случайных величин $X_k$, то есть $S_n = X_1+...+X_n$, где распределение $X_k$ задано следующим образом : $\mathbb{P}(X_k=j)=p_j, j = -1,0,1,...$, при этом $\forall j =-1,0,1,...~ p_j \geq 0, \sum\limits_{j=-1}^{+\infty}p_j=1$. Также мы предполагаем существование математического ожидания $X_k$ и его отрицательность : $\mathbb{E}[X_k]= a < 0.$
Нужно показать, что такое случайное блуждание придёт в точку $-k, k \in \mathbb{N}$ с вероятностью $1$.

В курсе где я это встретил говорится, что это очевидное следствие усиленного закона больших чисел. Хорошо, запишем усиленный закон больших чисел : $\mathbb{P}\left(\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{S_n}{n}=a\right)=1$. Как из этого следует, что $\mathbb{P}(S_n = -k) = 1?$ Ну то есть интуитивно кажется, раз $\dfrac{S_n}{n} \to a$, то $S_n \to a\cdot n$ и тогда с ростом $n$ мы действительно посетим точки с сколь угодно маленькими отрицательными номерами. Но так с пределами обращаться нельзя. Поэтому вопрос, как это формализовать?

[mihaild]

Вероятность того, что существует $n_0$ такое что $\forall n > n_0: \left| \frac{S_n}{n} - a \right| < a/4$, равна $1$ - это просто определение предела. Переписав, получаем следствие: $\forall n > n_0: S_n < -\frac{3an}{4}$.

[Sdy]

mihaild в сообщении #1612541 писал(а):

Вероятность того, что существует $n_0$ такое что $\forall n > n_0: \left| \frac{S_n}{n} - a \right| < a/4$, равна $1$ - это просто определение предела. Переписав, получаем следствие: $\forall n > n_0: S_n < -\frac{3an}{4}$.

То есть просто как следствие определения предела взяли эпсилон $\varepsilon = -\frac{a}{4}$, так как в определении предела идёт "для всякого положительного эпсилон"?
Спасибо за помощь.

Вот так у меня получается :
Пусть $a=-b, b > 0.$

$$1 = \mathbb{P}\left(\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{S_n}{n}=a\right)=\mathbb{P}\left(\forall \varepsilon \exists n_0 : \forall n > n_0 : \left\lvert \dfrac{S_n}{n}-a \right\rvert < \varepsilon\right) = \mathbb{P}\left(\exists n_0 : \forall n > n_0 : \left\lvert \dfrac{S_n}{n}-a \right\rvert < -\frac{a}{4} \right)=\mathbb{P}\left(\exists n_0 : \forall n > n_0 : \left\lvert \dfrac{S_n}{n}+b \right\rvert < \frac{b}{4} \right)=$$

$$=\mathbb{P}\left(\exists n_0 : \forall n > n_0 : -\frac{5bn}{4} < S_n < -\frac{3bn}{4}\right) \leq \mathbb{P}\left(\exists n_0 : \forall n > n_0 : S_n < -\frac{3bn}{4}\right)$$

Но тогда $\mathbb{P}\left(\exists n_0 : \forall n > n_0 : S_n < -\frac{3bn}{4}\right)=1$ и так как что $n>0$, что $b > 0$, то это означает, что с единичной вероятностью $S_n$ может принимать сколько угодно малые значения из $\mathbb{Z}$, а значит наше случайное блуждание окажется в каждой точке с отрицательной целочисленной координатой с единичной вероятностью.