Матфизика: Привести уравнение и решить задачу Коши

[yomanfeed]

Используется синтаксис LaTeX

 u_{xx} + 4u_{xy} + 4u_{yy} + u_{x} + u_{y} = 0 

Найти решение задачи Коши, удовлетворяющее условиям

Используется синтаксис LaTeX

 u(x, 0) = 0, \quad u_{y}(x, 0) = 1 

Нетрудно заметить, что это уравнение параболического типа. Первые интегралы у меня получились такие:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \xi=-2x+y \\ \eta=x \\ \end{array} \right.$$

После чего у меня получилось следующее уравнение:

Используется синтаксис LaTeX

 u_{\eta\eta} - u_{\xi} + u_{\eta} 

Я подозреваю, что такое уравнение не решается аналитическими методами. Ещё, чтобы просто уточнить, в книжке Тихонов Самарский "Уравнения Математической физики" нашёл замену

Используется синтаксис LaTeX

\exp(\mu\xi + \nu\eta)

которая сводит уравнение к наиболее простому виду?

В итоге мой вопрос такой: правильно ли я думаю, что это уравнение не решается; правильно ли воспринимаю такую замену; и какую книжку можно почитать, чтобы лучше прочувствовать эти уравнения?

[dgwuqtj]

Разве не получится привести буквально к виду $u_{\eta \eta} - u_\xi$ чуть другой линейной заменой? Это уже уравнение теплопроводности.

[yomanfeed]

О, и правда, можно для "эта" подобрать x-y, Якобиан не будет равен нулю, а линейная часть примет наиболее простой вид. Спасибо