Нельзя использовать интегрирование по частям? (см. пример)

[WinterPrimat]

Софизм об $0=1$
$\\f\left(x\right)=\dfrac{1}{x\ln{x}} \\\int{\dfrac{1}{x\ln{x}}dx}=\begin{vmatrix} u=\dfrac{1}{\ln{x}} & du=-\dfrac{1}{x\ln^2{x}} \\ dv=\dfrac{dx}{x} & v=\ln{x}\\ \end{vmatrix}=1+\int{\dfrac{1}{x\ln{x}}dx} $
Получается:
$\int{\dfrac{1}{x\ln{x}}dx}=1+\int{\dfrac{1}{x\ln{x}}dx} $
Сократим на $\int{\dfrac{1}{x\ln{x}}dx}$.
Получили $0=1$.
Методом исключения пришел к тому, что, вероятно, здесь нельзя использовать интегрирование по частям. Я прав? Если да, то когда еще нельзя? Если нет, то в чем проблема?
Спасибо.

[artempalkin]

WinterPrimat в сообщении #1612163 писал(а):

Методом исключения пришел к тому, что, вероятно, здесь нельзя использовать интегрирование по частям. Я прав? Если да, то когда еще нельзя? Если нет, то в чем проблема?

Думаю, что дело не в этом. Дело в том, что слева и справа у вас неопределенный интеграл, который есть "множество первообразных". Или, если хотите, равенство неопределенных интегралов означает по сути равенство их производных. производные слева и справа у вас равны, поэтому равенство верно.

[WinterPrimat]

artempalkin
То есть, в принципе, можно без проблем использовать что-то вроде такого?
$\\\int{f\left(x\right)dx}=C^{*}-\int{f\left(x\right)dx}+2g\left(x\right) \\\int{f\left(x\right)dx}=g\left(x\right)+C$

[artempalkin]

WinterPrimat в сообщении #1612166 писал(а):

То есть, в принципе, можно без проблем использовать что-то вроде такого?
$\\\int{f\left(x\right)dx}=C^{*}-\int{f\left(x\right)dx}+2g\left(x\right)
\\\int{f\left(x\right)dx}=g\left(x\right)+C$

В смысле, если у вас так получилось в результате вычислений? конечно, можно, примеров тому полно. Например, циклическое вычисление интеграла от $e^x\sin x$. Другой вопрос, что вот этой $C^*$ у вас там не будет, а ее надо будет учесть, исходя из сказанного выше

artempalkin в сообщении #1612165 писал(а):

неопределенный интеграл, который есть "множество первообразных".

-- 03.10.2023, 10:21 --

Или есть знаменитая формула для $\int\limits_0^{\pi/2}x\cdot f(\sin x,\cos x)dx$, которая так выводится
Впрочем, тут интеграл определенный, поэтому все же несколько другой случай.

[Mihr]

WinterPrimat, подобные "софизмы" не связаны с формулой интегрирования по частям, как таковой. Они, скорее уж, связаны с самим понятием неопределённого интеграла. Попробуйте, например, найти неопределённый интеграл

$$\int\sin x\cos x dx$$

тремя разными способами:
а) приняв $\sin x$ за новую переменную;
б) приняв $\cos x$ за новую переменную;
в) записав подынтегральную функцию как $\dfrac{1}{2}\sin 2x$ и затем приняв $2x$ за новую переменную.
Получите подобный "парадокс".

[EUgeneUS]

Mihr в сообщении #1612256 писал(а):

Попробуйте, например, найти неопределённый интеграл

...

Mihr в сообщении #1612256 писал(а):

Получите подобный "парадокс".

Никаких "парадоксов" получить не получится, если всё делать корректно. Учитывая, что неопределенный интеграл определен с точностью до аддитивной константы.

[Mihr]

EUgeneUS в сообщении #1612260 писал(а):

Учитывая, что неопределенный интеграл определен с точностью до аддитивной константы.

Именно. А в примерах ТС источник затруднений - не тот же самый?

[EUgeneUS]

Mihr в сообщении #1612262 писал(а):

А в примерах ТС источник затруднений - не тот же самый?

Да-да. Просто придрался, к Вашей фразе "Получите подобный "парадокс", которая неверная, так-то.

[Евгений Машеров]

EUgeneUS в сообщении #1612260 писал(а):

Никаких "парадоксов" получить не получится, если всё делать корректно. Учитывая, что неопределенный интеграл определен с точностью до аддитивной константы.

Это именно парадокс. Не софизм. Парадокс - верное утверждение, производящее впечатление неверного. Софизм - ложное утверждение, выглядящее верным.

[lel0lel]

Вспоминаются слова учителя по общей физике Владимира Ивановича Николаева: "парадокс -- это то, что на первый взгляд кажется неверным, а на второй верным"

[EUgeneUS]

lel0lel в сообщении #1612363 писал(а):

Это именно парадокс. Не софизм.

1. Софизм нам продемонстрировл ТС. Так как пришел к неверному равенству $0=1$

2. А если воспользоваться советом:

Mihr в сообщении #1612256 писал(а):

Они, скорее уж, связаны с самим понятием неопределённого интеграла. Попробуйте, например, найти неопределённый интеграл

то не возникает никаких софизмов и никаких парадоксов ("верных утвержденией, производящих впечатление неверных"), всё будет прозрачно.

В частности, в предложенном примере:
$\int\limits_{}^{} \sin x \cos x dx= \frac{1}{2} \sin^2 x + C_1 = -\frac{1}{2} \cos^2 x + C_2 = -\frac{1}{4} \cos2x + C_3$
и никаикх парадоксов.

[lel0lel]

EUgeneUS в сообщении #1612369 писал(а):

lel0lel в сообщении #1612363 писал(а):

Это именно парадокс. Не софизм.

1. Софизм нам продемонстрировл ТС. Так как пришел к неверному равенству $0=1$

Хотя цитата прикрепилась неверно, но напишу соображения. ТС скорее имел непонимание, благо всё разрешилось и , если он понял, то это, до полного закрепления материала, становится небольшим парадоксом. А равенство $0=1$ получено верное (хотя и не полностью конкретизировано, не указано по какому отношению эквивалентности элементы принадлежат одному классу, но из контекста задачи всё понятно). Можно, конечно, что-то вроде такого записать $0=_{S}1\Leftrightarrow (1-0)'_x=0$, где последнее равенство, это равенство функций.

[Евгений Машеров]

Ну, я бы сказал так: выкладки двумя манерами, приводящие к видимо разным результатам - парадокс. Затем можно либо понять, что неопределённый интеграл задан с точностью до константы, и "разные" ответы различаются лишь константой, сняв этим парадокс, либо превратить парадокс в софизм, делая вид, что не знаешь об этом свойстве неопределённого интеграла, и не напоминая слушателю, и заявляя ему, что будто "доказал, что $0=1$"