Оценка доходности

[vlad_light]

Помогите, пожалуйста, разобраться
Пусть $X_t$ -- цена актива в момент $t$. Тогда при покупке в момент $t$ и продаже в момент $t+s$ мой доход(убыток) будет составлять:

$$-CX_t + CX_{t+s} = C(X_{t+s} - X_t),$$

где $C$ -- кол-во реализованных активов. Обозначим $\alpha _t:=\frac{X_{t+s}}{X_t}$. У меня есть оценки для $\hat {\log \alpha _t} \sim \mathcal N (\log \alpha _t, \sigma ^2), t=1,..N$, которые я хочу использовать для оценки доходности.
Правильно ли я понимаю, что оценкой моей доходности будет

$$CX_t(\hat \alpha _t| \hat {\log \alpha _t} - 1),$$

где

$$\hat \alpha _t| \hat {\log \alpha _t} \sim LN(\hat {\log \alpha _t} - \sigma ^2, \sigma ^2)$$

?

[williamshane]

vlad_light в сообщении #1611738 писал(а):

Помогите, пожалуйста, разобраться
Пусть $X_t$ -- цена актива в момент $t$. Тогда при покупке в момент $t$ и продаже в момент $t+s$ мой доход(убыток) будет составлять:

$$-CX_t + CX_{t+s} = C(X_{t+s} - X_t),$$

geometry dash
где $C$ -- кол-во реализованных активов. Обозначим $\alpha _t:=\frac{X_{t+s}}{X_t}$. У меня есть оценки для $\hat {\log \alpha _t} \sim \mathcal N (\log \alpha _t, \sigma ^2), t=1,..N$, которые я хочу использовать для оценки доходности.
Правильно ли я понимаю, что оценкой моей доходности будет

$$CX_t(\hat \alpha _t| \hat {\log \alpha _t} - 1),$$

где

$$\hat \alpha _t| \hat {\log \alpha _t} \sim LN(\hat {\log \alpha _t} - \sigma ^2, \sigma ^2)$$

?

Давайте разберемся с вашим вопросом.

У вас есть оценки для \( \hat{\log \alpha_t} \), которые распределены нормально с параметрами \( \log \alpha_t \) и \(\sigma^2\). Ваша цель - использовать эти оценки для оценки доходности, которую вы представили в виде \(CX_t(\hat{\alpha}_t|\hat{\log \alpha}_t - 1)\), где \( \hat{\alpha}_t|\hat{\log \alpha}_t \) моделируется как логнормальное распределение.

Однако, в вашем выражении, похоже, есть небольшая путаница в использовании \( \hat{\alpha}_t \) и \( \hat{\log \alpha}_t \). Возможно, вы хотели бы использовать \( \hat{\log \alpha}_t \) для моделирования логнормального распределения \( \hat{\alpha}_t \).

Если это так, то ваша оценка доходности может быть переформулирована следующим образом:

\[ CX_t \left( e^{\hat{\log \alpha}_t - \frac{\sigma^2}{2}} | \hat{\log \alpha}_t \right) \]

Это предполагает, что \( \hat{\log \alpha}_t \) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием \( \log \alpha_t \) и дисперсией \( \sigma^2 \), а \( \hat{\alpha}_t \) является логнормальной случайной величиной, как вы правильно отметили.

Так что, в общем, ваш подход к использованию оценок \( \hat{\log \alpha}_t \) в моделировании логнормального распределения для доходности выглядит правильным.

[ipgmvq]

Наверное вопрос уже неактуальный, но тем не менее.

vlad_light в сообщении #1611738 писал(а):

Обозначим $\alpha _t:=\frac{X_{t+s}}{X_t}$.

Т.е. $X_{t+s}$, $X_t$ и $\alpha _t$ это случайные величины. Следовательно $\log \alpha _t$ это тоже случайная величина. Не совсем ясно, как эта случайная величина становится параметром $\mu$ в нормальном распределении.
Возможно Вы хотели написать $\mathbb{E}[\log \alpha _t]$?
Не совсем понятно, оценку какого параметра доходности Вы хотите найти: оценку математического ожидания, медианы, чего-то ещё. Возможно математического ожидания?
Также Вы используете параметр $\sigma^2$ как будто он известен и не требует оценки. К сожалению, в реальности $\sigma^2$ является тоже случайной величиной, поэтому его оценка весьма сложна.