Обычно уравнения электромагнитного поля в искривлённом пространстве-времени получают из следующего вариационного принципа

где

- скалярная кривизна,

- тензор поля,

- векторный потенциал, а интегрирование производится по всему пространству-времени.
Делается это такПредставив подынтегральное выражение в виде

и воспользовавшись соотношениями







получим известную систему уравнений

(ЗАМЕЧАНИЕ)
В процессе интегрирования по частям, "переброс" ковариантных производных производится точно так же как и обычных, поскольку и те и другие подчиняются правилу Лейбница. Этот подход отличается от классического и его преимущество заключается в следующем. Поскольку

, все свёртки с метрическим тензором можно производить, игнорируя ковариантное дифференцирование.
Освобождая таким способом вариации от ковариантных производных, замечаем, что все возникающие при

ковариантные дивергенции могут быть отброшены.
Действительно, члены вида

преобразуются в поверхностный интеграл и потому никак не влияют на уравнения

.
И тут я подумал...Что, если рассмотреть наиболее общее выражение для лагранжиана теории и потребовать четырёх вещей?
-уравнения должны быть линейными второго порядка- ...и в пределе слабого поля - безмассовыми
-уравнения должны быть не выше второго порядка- ...и свободными от вторых производных

Из части требований вытекает следующий общий вид лагранжиана

Варьируя который, применяя где нужно тождество

и элиминируя нежелательные элементы, доводим его до кондиции
![$$k_1 \left[
A^{\alpha ;\beta}A_{\alpha ;\beta}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}
\right]+k_2 \left[
A^{\alpha ;\beta}A_{\beta ;\alpha}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}
\right]$$ $$k_1 \left[
A^{\alpha ;\beta}A_{\alpha ;\beta}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}
\right]+k_2 \left[
A^{\alpha ;\beta}A_{\beta ;\alpha}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}
\right]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/3/783f77d5d02f8457eddfa9792b8e94f082.png)
уже всем четырём требованиям удовлетворяющей.
Казалось бы, обобщение! Но фиг там плавал.
Дело в том, что выражение при

не даёт никакого вклада в

, так как имеет тождественно равные нулю вариционные производные.
Другими словами, величина
![$$I\equiv\int\sqrt{-g}\left[
A^{\alpha ;\beta}A_{\beta ;\alpha}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}
\right]d\Omega \eqno (3)$$ $$I\equiv\int\sqrt{-g}\left[
A^{\alpha ;\beta}A_{\beta ;\alpha}-\left( A^{\alpha}_{;\alpha}\right)^2+R_{\alpha \beta}A^{\alpha}A^{\beta}
\right]d\Omega \eqno (3)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/0/480fe6b66d1b07694e3f0b22c57cc73e82.png)
является т. н. "характеристическим классом".
Частные случаиДля слабой электромагнитной волны (в пренебрежении создаваемой ею кривизной п.-в.)

.
Для метрики Рейснера - Нордстрёма

.
Не знаю, есть ли в этом хоть какой-то физический смысл, но выглядит забавно. Надо будет взять что-то поразвесистей из точных решений и посмотреть на этот инвариант. Вдруг из условия его конечности вылезет какое-нибудь ограничение на параметры...
А ваше какое мнение?