Геометрия, Аналитическая геометрия и векторы

[Sdy]

Я довольно давно думал спросить на форуме на этот счёт, но была надежда, что оно как-то само станет понятно. Так и не стало, поэтому попробую всё-таки спросить. У меня насчёт этих объектов интерес довольно практический -- те же самые геометрические векторы часто используют для изображения элементов абстрактных векторных пространств, например пространства непрерывных функций. И вроде как в таких случаях эти визуализации добавляют интуиции, так как геометрические векторы, по мнению лекторов и авторов учебников известны слушателям из школьного курса геометрии. Но все мои попытки понять по школьным учебникам что такое геометрический вектор, ни к чему хорошему не привели.

Допустим что у нас есть евклидова геометрия. Мы строим её аксиоматически, можно взять разные системы аксиом, как я понимаю они так или иначе приводят к одинаковому результату. Это та самая геометрия, которая позволяет на листике нарисовать плоскость как параллелограмм (или не рисовать её вовсе, считая что она дана) и в плоскости рисовать всякие там треугольники, окружности, отрезки. Можно в том числе нарисовать стрелочку. Эту стрелочку мы называем евклидовым (геометрическим) вектором. Аксиомы позволяют нам это всё делать.

На этом моменте у нас нет никаких координат, это для меня морально очень тяжело, все объекты, которые используются в евклидовой геометрии выглядят для меня не заданными до конца, что такое треугольник или окружность в координатной геометрии для меня понятно, а вот в евклидовой все определения выглядят крайне нестрого. Но ладно, с этим судя по всему просто нужно смириться. Моя попытка чтения, например, книги "Высшая геометрия" Ефимова так и не привела меня к вере в эти объекты.

Но если я верно понимаю, вот эта вся "бумажная" геометрия, в каком-то смысле та же самая (там правильное слово изоморфная, но я не понял пока в каком смысле, поэтому не использую это слово), что и координатная геометрия. Под координатной геометрией я понимаю векторное пространство $\mathbb{R}^n$, в нашем случае $n=2$. Если я правильно понимаю, это утверждение называется Cantor–Dedekind axiom. Я понимаю это так, что взяв евклидову плоскость и "натянув" на неё координатную сетку, я сохраню все имеющиеся свойства фигур и их соотношений. Но при этом у них появятся новые представления. В частности, геометрическому вектору можно будет поставить в соответствие кортеж из двух вещественных чисел. Это представление неминуемо будет зависть от имеющегося базиса. При этом если я верно понимаю, по умолчанию в координатной геометрии у нас начало координат это всегда точка $(0,0)$, а чтобы "натягивать" координатную сетку, с центром не в нуле, нужна уже аффинная геометрия.

Таким образом геометрическому вектору $\overrightarrow{v}$ соответствует координатный вектор $f(\overrightarrow{v})$. При этом если задать операции над координатными векторами покоординатно, то результат выполнения этих операций будет соответствовать результату выполнения операции над геометрическими векторами, то есть $f(\overrightarrow{v}) + f(\overrightarrow{u})=f(\overrightarrow{w})$, где $\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w}$.
И вот эти два пространства геометрических векторов и координатных это два разных пространства, которые изоморфны(?) друг другу и которые при условии определения операций над ними стандартным образом, дают первые два примера линейных пространств над $\mathbb{R}$.
Иногда мне кажется, что их даже отождествляют между собой. То есть рисуют в координатах стрелочки, а задают их парой чисел. Что меня крайне путает, так как на мой взгляд стрелочка и пара чисел -- все-таки разные объекты.


Какие есть проблемы в моём понимании на данном этапе?

Я извиняюсь, что тема выглядит как какой-то сумбурный поток мыслей, но я так нигде и не нашёл нормального последовательного изложения "Геометрии" как с формальной стороны дела, так и с содержательной, с проговариванием всех тонкостей. Часто слышал в некоторых лекциях про "синтетический" подход и "аналитический", но также не сильно из объяснений в учебнике/интернете смог что-то содержательное по этому поводу понять. Вся эта канитель с геометрией в моей голове выработала у меня к ней отвращение. Но проблема в том что, как я сказал выше, очень часто я вижу как в вещах, которые мне нравятся -- статистике или случайных процессах; используется линейная алгебра, которую демонстрируют в пространствах размерности $2$ и $3$ на как раз таки геометрических картинках. То есть видимо, толк от этого есть, просто нужно получше с этим всем разобраться.

[dgwuqtj]

У вас всё правильно написано. В общем случае произвольное векторное пространство $V$ тоже не имеет естественных координат, их специально вводят изоморфизмом $V \cong \mathbb R^n$ (если $V$ конечномерное). В элементарной геометрии векторное пространство можно по-разному строить: как классы эквивалентности направленных отрезков, как группу параллельных переносов, может, ещё есть способы.

[sergey zhukov]

Sdy
Бескоординатное представление геометрических объектов очень распространено, особенно в школьных задачах. Например: дан треугольник со сторонами $3, 4, 5$. Докажите, что он, скажем, прямоугольный. Практически все школьные геометрические задачи сформулированы в бескоординатном виде.

Можно было бы эту задачу сформулировать в координатном виде: дан треугольник, вершины которого в декартовых координатах есть $(0,0), (0,3)$ и $(4,0)$. Сразу видно, что тут дано больше информации о той же самой задаче, причем эта дополнительная информация на самом деле лишняя - эта дополнительная информация не о задаче, а о сетке координат, которая не имеет никакого отношения к задаче. В некотором смысле бескоординатная формулировка первична - там нет ничего лишнего, не относящегося к задаче. Координатная формулировка - это подмешивание к данным задачи лишней информации о координатах. Что-то типа топора в каше, который помогает нам решить задачу, но по сути он не нужен.

Пара чисел - это еще не вектор. Эта пара чисел представляет компоненты вектора в выбранных координатах. Если координаты сменить по определенному закону (скажем, повернуть), то эта пара чисел так же измениться по определенному (связанному с законом смены координат) закону. Вот это свойство этой пары чисел (согласованное ее изменение со сменой координат) и делает ее не просто парой чисел, а компонентами вектора. Поэтому они соответствуют стрелочке.

[мат-ламер]

Sdy в сообщении #1611107 писал(а):

Какие есть проблемы в моём понимании на данном этапе?

Мне кажется, что у вас проблемы более психологические, чем проблемы понимания. И вы склонны к перфекционизму. Невозможно быть совершенным во всём. Вот вы интересуетесь вероятностными науками. Сосредоточьтесь на них. А геометрию читайте только поскольку она используется в теории вероятностей.

Sdy в сообщении #1611107 писал(а):

Вся эта канитель с геометрией в моей голове выработала у меня к ней отвращение.

И ничего страшного. Не идёт книга Ефимова - задвиньте её на дальнюю полку.

Sdy в сообщении #1611107 писал(а):

Но проблема в том что, как я сказал выше, очень часто я вижу как в вещах, которые мне нравятся -- статистике или случайных процессах; используется линейная алгебра

Вот и возьмите лучше хорошую книгу по линейной алгебре.

Sdy в сообщении #1611107 писал(а):

которую демонстрируют в пространствах размерности $2$ и $3$ на как раз таки геометрических картинках. То есть видимо, толк от этого есть, просто нужно получше с этим всем разобраться.

Что-то я не помню, чтобы в книгах по линейной алгебре были геометрические картинки. Там сразу всё идёт в абстрактном линейном пространстве. И идею этого пространства надо осознать. Обращение к геометрическим картинкам там вторично. И в этом пространстве можно считать, что векторы идут от начала координат. Отдельной главой в книгах по линейной алгебре идёт теория аффинных пространств. Да, там векторы имеют и начало и конец. Но если вы специализируетесь в вероятностных науках, то эту тему можно для начала опустить. После того как освоите линейную алгебру может и аналитическая геометрия пойдёт.

P.S. Вот я посоветовал вам меньше сосредотачиваться на геометрии. Посмотрел вашу последнюю тему . И вспомнил, что сам там предложил геометрическое решение вероятностной задачи. Да, есть такая тема - геометрические вероятности. Но особо в глубины геометрии там лезть не надо. Там либо стоит задача нахождения площадей или объёмов простейших геометрических объектов. Ну, может их нахождение сводится к вычислению кратных интегралов. С геометрией эта тема лишь немного боком соприкасается.

[Sdy]

dgwuqtj, спасибо.

sergey zhukov в сообщении #1611118 писал(а):

В некотором смысле бескоординатная формулировка первична - там нет ничего лишнего, не относящегося к задаче.

Ну тогда нужно быть уверенным в том что сама задача поставлена корректно. Я понимаю, что задавая треугольник в координатах, мне ещё нужно притащить в эту задачу метрику, чтобы померить стороны треугольника и сказать, что это действительно треугольник. Хотя может быть меня просто что-то про его углы спросили. Зато я буду понимать, что я работаю действительно с тем объектом, за который он себя выдаёт. В том числе я могу сказать что такое мера его угла.

мат-ламер в сообщении #1611166 писал(а):

Вот и возьмите лучше хорошую книгу по линейной алгебре.

Да, собственно говоря я это и планировал сделать, чтобы повторить (а где-то и узнать) всякие содержательные вещи касающиеся подпространств, связанных с линейными операторами. А там снова эти "геометрические векторы". :)

мат-ламер в сообщении #1611166 писал(а):

Мне кажется, что у вас проблемы более психологические, чем проблемы понимания. И вы склонны к перфекционизму. Невозможно быть совершенным во всём.

Мне просто кажется, что это некоторая база, которой владеют все люди, занимающиеся математикой. То есть с моей стороны незнание этих моментов -- безграмотность, нравится ли мне это или нет.

мат-ламер в сообщении #1611166 писал(а):

Что-то я не помню, чтобы в книгах по линейной алгебре были геометрические картинки.

Последние картинки, которые мне не очень понравились, я видел когда в курсе математической статистике в разделе о линейной регрессии доказывалось что с геометрической точки зрения, если ${\hat{\boldsymbol{\beta}}}$ это оценка метода наименьших квадратов, то $\small\mathbb{X}\hat{{\boldsymbol{\beta}}}$ это ортогональная проекция $\mathbf{Y}$ на подпространство, порожденное столбцами матрицы признаков $\mathbb{X}$. Там было много бескоординатных картинок, которые сами по себе несложные, но заставили меня вспомнить, что я так и не понял, как выполнять "переход" между координатными представлениями и бескоординатными.

Если в первом посте у меня были какие-то верные мысли, я тогда отдельно сформулирую вопросы, которые для меня сейчас наиболее актуальны.

1. Множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ изоморфно координатной прямой (линейному пространству $\mathbb{R}$ над $\mathbb{R}$, возможно, с выбранным стандартным базисом). Мне вообще раньше казалось, что вещественная прямая это именно модель вещественных чисел, как те же Дедекиндовы сечения, но подтверждения я этому не нашёл. Собственно говоря, наличие этого изоморфизма позволяет нам рисовать вещественную прямую, на ней отмечать числа и быть уверенными, что они удовлетворяют всем свойствам вещественных чисел.
Я понимаю, что это вопрос вообще в сторону от геометрии, но я как-то на него тоже явно написанного ответа не нашёл. Или здесь тоже помогает теорема Кантора-Дедекинда?
2. Множество $\mathbb{R}^2$ изоморфно координатной плоскости, а $\mathbb{R}^3$ -- координатному пространству. Это должно быть следствием пункта 1.
Под координатным пространством $\mathbb{R}^n$ я понимаю линейное пространство кортежей длины $n$ над полем $\mathbb{R}$ с стандартно определёнными операциями.
3. Пусть $\mathbb{E}$ это Евклидова прямая, $\mathbb{E}^2$ это Евклидова плоскость, $\mathbb{E}^3$ это Евклидово пространство.
Тогда по теореме Кантора-Дедекинда, $\mathbb{E}$ изоморфно координатной прямой, $\mathbb{E}^2$ изоморфно координатной плоскости, $\mathbb{E}^3$ изоморфно координатному пространству.
Этот пункт для меня наиболее важен. Если я правильно понимаю, именно он даёт нам возможность в координатном представлении использовать как уже верные всякие утверждения из школьной планиметрии, и наоборот, если мы что-то доказываем в координатном представлении, это также будет верно и для евклидовой геометрии. То есть у нас всегда есть как бы два представления геометрических объектов, между которыми мы можем "валидно" переключаться в зависимости от удобства.

Есть ещё пара вопросов, но я пока тут остановлюсь.

[dgwuqtj]

Евклидова геометрия, если подходить к этому строго, задаётся аксиомами. То есть, по определению, евклидова плоскость - это множество точек, множество прямых, а также какие-то отношения между ними (инцидентность, конгруэнтность для пар точек, ...), удовлетворяющие списку аксиом. Вещественные числа тоже определяются аксиомами как полное упорядоченное поле, полнота в смысле Дедекинда для определённости. Если мы верим, что вещественные числа существуют (например, построили их через дедекиндовы сечения), то можно построить и евклидову плоскость как$\mathbb R^2$, где прямые задаются многочленами 1 степени и т.д.

Наоборот, если есть евклидова плоскость, то в ней можно взять прямую, отметить на ней пару различных точек $O$ и $E$, получится поле вещественных чисел. Операции можно ввести конкретными геометрическими построениями, а потом доказать их корректность и проверить аксиомы типа коммутативности.

И поле $\mathbb R$, и евклидова плоскость $\mathbb E^2$ единственны с точностью до изоморфизма, поэтому и можно доказывать теоремы в любой конкретной реализации, не обязательно через аксиомы. Просто для вещественных чисел изоморфизм тоже единственный, а у плоскости есть движения. К пространству это всё тоже относится.

[мат-ламер]

Sdy в сообщении #1611227 писал(а):

Мне вообще раньше казалось, что вещественная прямая это именно модель вещественных чисел, как те же Дедекиндовы сечения, но подтверждения я этому не нашёл.

Sdy в сообщении #1611227 писал(а):

Я понимаю, что это вопрос вообще в сторону от геометрии, но я как-то на него тоже явно написанного ответа не нашёл.

Так, а в чём вопрос? Вам нужно найти подтверждение вашей догадки? Для начала хорошо бы определить, что есть "модель" и что есть "вещественная прямая". Мы можем "вещественную прямую" определить как множество вещественных чисел. И тогда вопрос отпадёт. Мы можем для начала просто рассматривать прямую как таковую (пока не вещественную). И то, что она "вещественная" (то есть существует изоморфизм между её точками и вещественными числами) есть факт чисто опытный и доказательству не подлежит.

-- Вт сен 26, 2023 15:52:27 --

Sdy в сообщении #1611227 писал(а):

Мне просто кажется, что это некоторая база, которой владеют все люди, занимающиеся математикой. То есть с моей стороны незнание этих моментов -- безграмотность, нравится ли мне это или нет.

То, что некоторая база нужна - сомнений нет. Но мне кажется, что вы пытаетесь лезть в глубины, которые лежат вне этой базы. Например, в МГУ-шных учебниках аналитической геометрии (Александров, Садовничий ...) много места уделяется проективной геометрии, которая возможна вам не нужна.

[Sdy]

мат-ламер в сообщении #1611364 писал(а):

Так, а в чём вопрос? Вам нужно найти подтверждение вашей догадки? Для начала хорошо бы определить, что есть "модель" и что есть "вещественная прямая". Мы можем "вещественную прямую" определить как множество вещественных чисел. И тогда вопрос отпадёт. Мы можем для начала просто рассматривать прямую как таковую (пока не вещественную). И то, что она "вещественная" (то есть существует изоморфизм между её точками и вещественными числами) есть факт чисто опытный и доказательству не подлежит.

Ну для меня логично построение множества вещественных чисел например, через классы фундаментальных последовательностей, как расширение множества рациональных чисел.
А вот что такое "вещественная прямая", если по хорошему -- я не знаю, ну или не понимаю. Есть евклидова прямая, её задаём аксиоматически. Затем на неё наносят точки. И вот нужно как-то понять, почему это та же модель. Минимум два раза я слышал о том что этот изоморфизм нужно доказывать, на лекции Аржанцева и на лекции Шапошникова. Всё что я нашёл по этому поводу это статья на Википедии, которая отсылает к книге Geometric Algebra, Emil Artin. Я пробовал её читать, но не сказал бы, что для меня она очень понятна.

мат-ламер в сообщении #1611364 писал(а):

То, что некоторая база нужна - сомнений нет. Но мне кажется, что вы пытаетесь лезть в глубины, которые лежат вне этой базы. Например, в МГУ-шных учебниках аналитической геометрии (Александров, Садовничий ...) много места уделяется проективной геометрии, которая возможна вам не нужна.

Ну я пока как раз стараюсь сконцентрироваться на том что я уже видел в приложениях.
Но вот эти штуки об изоморфизме $\mathbb{E}^n$ и $\mathbb{R}^n$, $n = 1,2,3$ мне нужны чтобы быть уверенным, что в аналитической геометрии можно так свободно использовать факты из планиметрии или тригонометрии. И наоборот, почему что-то доказав в рамках координатной геометрии, я могу потом нарисовать треугольник без координат и чем-то дальше воспользоваться.

Также, я не понимаю, как определять координаты строго. Вообще мне казалось, что должен быть какой-то общий подход к формализации координатных систем. Но в учебнике по линейной алгебре у меня получилось только найти что-то не очень убедительное насчёт декартовой системы, и ни слова насчёт полярной, цилиндрический, сферической системы координат. Мне тяжело работать с объектами, которые не были определены до этого. А часто приходится слышать о том как систему координат, например "поворачивают". Ну или при взятии каких-то интегралов постоянно используешь как раз замены координат. К какому это относится вообще предмету?

-- 05.10.2023, 18:20 --

dgwuqtj,
спасибо, в принципе как-то так я это себе и представляю. Но $\mathbb{R}^2$ это множество пар вещественных чисел, и чтобы в $\mathbb{R}^2$ рисовать картинки, нужен изоморфизм $\mathbb{R}^2$ и координатной плоскости. Как строго определить координатную плоскость, чтобы его строить?

[dgwuqtj]

Sdy в сообщении #1612538 писал(а):

dgwuqtj,
спасибо, в принципе как-то так я это себе и представляю. Но $\mathbb{R}^2$ это множество пар вещественных чисел, и чтобы в $\mathbb{R}^2$ рисовать картинки, нужен изоморфизм $\mathbb{R}^2$ и координатной плоскости. Как строго определить координатную плоскость, чтобы его строить?

Давайте для начала различать множество $\mathbb R^2$, евклидову плоскость $\mathbb E^2$ и всякие физические "модели" плоскости, от бумажных листов до растровых картинок в компьютерах. Строго евклидова плоскость определяется, скажем, аксиоматически. Если говорить про аксиомы Гильберта, то можно взять его книгу "Основания геометрии" или более современную "Geometry: Euclid and beyond" от Хартсхорна. У Артина в "Геометрической алгебре" всё-таки не то, там проективные и аффинные пространства над телами, без евклидовой структуры. Но в таких книгах обсуждаются основания, а теоремв евклидовой геометрии излагаются в школьных учебниках, учебниках для педвузов и специальных монографиях.

Конечно, можно буквально определять $\mathbb E^2$ как $\mathbb R^2$, а потом проверить, что теоремы из школьных учебников там выполняются.

В общем случае, если есть абстрактная евклидова плоскость, то декартовы координаты на ней вводятся как в школе: выбором точки $O$ (начала координат); перпендикулярных направленных прямых $Ox$ и $Oy$, проходящих через $O$ (координатных осей); точки $E$ на положительном луче $Ox$ (единичная точка на оси абсцисс). Такие данные позволяют построить биекцию плоскости с $\mathbb R^2$ обычным способом. С другими координатами так же, разве что их ещё можно определять не геометрически, а через декартовы. Это иногда удобнее.

Так как плоскость с координатами является той же самой плоскостью (и на любой евклидовой плоскости существуют декартовы координаты), то доказывать геометрические утверждения можно хоть в координатах, хоть синтетически, без разницы.

-- 05.10.2023, 15:38 --

Криволинейные координаты определяют в курсах аналитической и дифференциальной геометрии, всё там строго. В многомерном случае даже не заморачиваются с синтетическим подходом (через аксиомы), а изучают прямо $\mathbb R^n$.

[realeugene]

Sdy в сообщении #1611107 писал(а):

там правильное слово изоморфная, но я не понял пока в каком смысле, поэтому не использую это слово

Возможно, это ключевой момент непонимания. Изоморфизм - это взаимно-однозначное отношение между множествами, сохраняющее заданные на этих множествах операции. В математике как правило изоморфные объекты не различаются. Если вы установили взаимно-однозначное отношение между точками евклидовой геометрии и точками евклидового пространства, при котором аксиоматика геометрии применима к точкам евклидового пространства, то и все теоремы евклидовой геометрии оказываются применимы также к точкам евклидового пространства.

О строгости: ну да, оригинальная аксиоматика Евклида не полностью описывает геометрию евклидовой плоскости. Требуется домысливать, используя интуитивные свойства евклидового пространства. Современные системы аксиом евклидовой геометрии полнее.

-- 05.10.2023, 16:33 --

Sdy в сообщении #1612538 писал(а):

Но $\mathbb{R}^2$ это множество пар вещественных чисел, и чтобы в $\mathbb{R}^2$ рисовать картинки, нужен изоморфизм $\mathbb{R}^2$ и координатной плоскости. Как строго определить координатную плоскость, чтобы его строить?

Нужен не просто изоморфизм. Нужны топология и метрика, которых изначально во множестве пар точек из $\mathbb{R}$ нет. И если топология поднимается на плоскость стандартно с уровня топологии действительной прямой, то с метрикой сложнее, и евклидова метрика - только одна из возможных на плоскости, хоть и простейшая.

[Sdy]

dgwuqtj в сообщении #1612564 писал(а):

В общем случае, если есть абстрактная евклидова плоскость, то декартовы координаты на ней вводятся как в школе: выбором точки $O$ (начала координат); перпендикулярных направленных прямых $Ox$ и $Oy$, проходящих через $O$ (координатных осей); точки $E$ на положительном луче $Ox$ (единичная точка на оси абсцисс). Такие данные позволяют построить биекцию плоскости с $\mathbb R^2$ обычным способом. С другими координатами так же, разве что их ещё можно определять не геометрически, а через декартовы. Это иногда удобнее.

Я правильно понимаю, что вот эти самые прямые, через которые как раз-таки вводят декартову плоскость это прямые из евклидовой геометрии? Звучит глупо, но мне просто казалось, что если доказывать наличие соответствия - из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{E}^n$, то нужно как-то в рамках $\mathbb{R}^n$ задать эти прямые, например как $\{(y,0) : y \in \mathbb{R}\}$ и $\{(0,x) : x \in \mathbb{R}\}$.

То есть соответствие из $\mathbb{E}^n$ в $\mathbb{R}^n$ я вроде понял как показать -- ничего не мешает нам, как Вы говорить провести там две прямые, мы знаем там что такое перпендикулярные, мы действительно можем там померить расстояние (по моему это тоже в аксиомах есть, правда нужно считать что $\mathbb{R}$ уже построено), а значит может отложить единичный отрезок на этих прямых. И тогда при наличии Евклидовой плоскости мы можем оснащать её координатами.

А что если у нас есть только $\mathbb{R}^n?$ Как строить евклидову плоскость в таком случае?

У меня в голове просто как будто бы три объекта : $\mathbb{R}^n$ как множество кортежей вещественных чисел длины $n$ -- самая понятная для меня модель, $\mathbb{E}^n$ -- евклидова плоскость, заданная через какую-то систему аксиом и, собственно говоря, $\text{Coord}$ координатная плоскость -- это вот эти две прямые, перпендикулярные друг другу, с единичным отрезком на них.

Но получается, что третий объект это и есть евклидова плоскость с координатами на ней, полученными как Вы написали? И тогда $\text{Coord} \equiv \mathbb{E}^n$, то есть это просто один и тот же объект, который я просто почему-то у себя в голове отличал от евклидовой плоскости?
И мы умеем строить отображение $\mathbb{E}^n \to \mathbb{R}^n$. А нужно ещё $\mathbb{R}^n \to \mathbb{E}^n$.

realeugene в сообщении #1612571 писал(а):

Возможно, это ключевой момент непонимания. Изоморфизм - это взаимно-однозначное отношение между множествами, сохраняющее заданные на этих множествах операции. В математике как правило изоморфные объекты не различаются.

На уровне той же линейной алгебры в принципе мне было понятно, что всякое конечномерное линейное пространство изоморфно координатному пространству $\mathbb{R}^n$, то есть существует биекция, которая при этом сохраняет умножение вектора на скаляр и сумму векторов. Но видите ли, если например представлять себе линейное пространство многочленов и координатное пространство $\mathbb{R}^n$ то у меня нет непринятия этих объектов, я умею их формально строить. А тут нужно устанавливать соответствия между моделями, мне такого не приходилось делать.
Даже в случае алгебраических систем там можно писать нечто наподобие $\{M, \text{op}, \text{axioms}\}$ чтобы задать алгебраическую структуру, где $M$ это просто множество, $\text{op}$ -- операция на этом множестве, то есть бинарное функциональное отношение, $\text{axioms}$ -- свойства, которым это отношение дополнительно должно удовлетворять. Так всё понятно, все объекты можно восстановить начиная с основ ZFC и что-то с ними делать.
Это я не к тому чтобы поругать евклидову геометрию, а к тому что мне её тоже нужно как-то уложить в голову так (вместе с тем что я писал выше, то есть с изоморфизмом с $\mathbb{R}^n$), чтобы она вписалась в уже имеющиеся у меня знания.

[dgwuqtj]

Sdy в сообщении #1612661 писал(а):

А что если у нас есть только $\mathbb{R}^n?$ Как строить евклидову плоскость в таком случае?

Если у вас уже есть и $\mathbb E^n$ с выбранной системой координат, и $\mathbb R^n$, то биекция между множеством $\mathbb R^n$ и множеством точек пространства $\mathbb E^n$ строится одна, так что $\mathbb R^n \to \mathbb E^n$ - это просто обратное отображение к биекции $\mathbb E^n \to \mathbb R^n$ (и это обратное отображение также строится геометрически).

Если же вы хотите построить евклидово пространство, имея только поле $\mathbb R$, то обычно делают так. В качестве множества точек берут $\mathbb R^n$. В качестве прямых берут подмножества $\mathbb R^n$, задаваемые параметрическими уравнениями вида $\vec x(t) = \vec x_0 + t \vec v$, где $\vec v \neq 0$. Плоскости - это подмножества, задаваемые параметрическими уравнениями $\vec x(t, s) = \vec x_0 + t \vec v + s \vec u$, где $\vec v$ и $\vec u$ линейно независимы. Если $n = 3$, то плоскости можно задавать линейными уравнениями, а в случае $n = 2$ линейными уравнениями задаются прямые.

Кроме этого, нужна геометрическая структура, в зависимости от выбранных аксиом. Инцидентность определяется как теоретико-множественная принадлежность или включение (для прямых и плоскостей). Отношение порядка вводится, скажем, так: точка $\vec A$ лежит между точками $\vec B$ и $\vec C$, если они попарно различны и существует $0 < t < 1$ такое, что $\vec A = t \vec B + (1 - t) \vec C$. Наконец, конгруэнтность для отрезков можно определить как равенство их евклидовых длин. Длина отрезка с концами $\vec A$ и $\vec B$ - это $\sqrt{(A_1 - B_1)^2 + \ldots + (A_n - B_n)^2}$, это понятие даже не из аксиоматики Гильберта, оно тут чисто для задания конгруэнтности. И дальше проверяются все аксиомы.

Конечно, в построенном пространстве есть естественная система координат, задающая тождественную биекцию с $\mathbb R^n$.

Как пример евклидовых плоскостей, отличных от $\mathbb R^2$, можно взять какую-то плоскость в $\mathbb R^3$ (не обязательно проходящую через начало координат).

[realeugene]

Sdy в сообщении #1612661 писал(а):

А нужно ещё $\mathbb{R}^n \to \mathbb{E}^n$

Такое отображение не единственно.

Может быть сначала стоит доказать единственность евклидовой плоскости с точностью до изоморфизма? И от этого изоморфизма уже плясать дальше в сторону координатных представлений?

И, кстати, хорошо бы начать с выписывания определений. Потому что иногда понятие Евклидового пространства переносят и на конечные поля.

[Sdy]

dgwuqtj,
спасибо. Что-то понятно, а что-то символьно понятно, а по смыслу не очень, нужно думать. Если я правильно понимаю, этот путь проходит как раз Городенцев в своей книге "Геометрия", по крайней мере он об этом в самом начале говорит. Просто как-то неявно проходит. Ну или я невнимательно читал/не дочитал до нужного момента.

dgwuqtj в сообщении #1612564 писал(а):

более современную "Geometry: Euclid and beyond" от Хартсхорна.

Я сохранил её себе на полку когда-то. Видел рекомендации на math.stackexchange об этой книге, в темах, похожих на мою. Если Вы её читали, Вы можете сказать, должна ли она помочь понять вот эти "переходы между моделями геометрии" лучше? Сейчас я её читать не смогу в силу нехватки времени, но впоследствии я бы над этими вопросами ещё подумал, а думать вместе с книгой -- проще.

[dgwuqtj]

Книга Хартсхорна не поможет пониманию, она именно про аксиоматический подход. Вам скорее нужно что-то типа Александров, Нецветаев, "Геометрия". Начинается как раз с аналитической геометрии, а потом обсуждаются аксиомы.