Что означаетэта запись?

[Missiir]

$$R=\max\limits_{x\in R^{n}}\max\limits_{x^*\in X^*}\left\lbrace} \| x-x^* \|:H(x)\leq H(x_0)\right\rbrace$$

меня смущает 2 следующих друг за другом максимума, не совсем понятно что это значит

[worm2]

Попробуем расшифровать.
Во-первых, предположим, что под первым максимумом имеется в виду $x \in \mathbb{R}^n$. Выражение $||x-x^*||$ намекает на то, что это $\mathbb{R}^n$ — нормированное пространство (возможно, со стандартной евклидовой нормой).
$X^*$ я склонен интерпретировать как подмножество этого $\mathbb{R}^n$. $H(\cdot)$ — видимо, функция из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}$. $x_0$ — некоторая заданная точка в $\mathbb{R}^n$.
Тогда $R$ определяется как максимальное расстояние между точками подмножества $X^*$ и точками подмножества $\mathbb{R}^n$, для которых $H(x)$ не превосходит $H(x_0)$. Чтобы данное максимальное расстояние существовало, оба эти подмножества должны быть ограниченными.

Иллюстрация: пусть (в стандартной евклидовой норме) $H(x)=||x||$, $X^*=\{x: ||x-x_0|| \leqslant 2\}$ — шар радиусом 2 с центром в точке $x_0$, условие $H(x)\leqslant H(x_0)$ определяет опять шар (пусть будет $Y^*$) с центром в начале координат, на границе которого лежит точка $x_0$. Шары $X^*$ и $Y^*$ пересекаются, но это совершенно не мешает нам найти максимально удалённые их точки: проведём прямую между центрами шаров (от начала координат до точки $x_0$). Очевидно, наиболее удалённые друг от друга $x$ и $x^*$ будут лежать на этой прямой и в данном примере $R=2||x_0||+2$.

[Missiir]

спасибо

[Mikhail_K]

Missiir в сообщении #1611018 писал(а):

меня смущает 2 следующих друг за другом максимума, не совсем понятно что это значит

Например, $\min\limits_{x\in[-1,1]}\max\limits_{y\in[-1,1]}(x^2-y^2)=0$. При каждом $x\in[-1,1]$, рассматривается величина $\max\limits_{y\in[-1,1]}(x^2-y^2)=x^2$ (максимум достигается при $y=0$) и из них выбирается минимальная - это $0$ (минимум достигается при $x=0$). Таким образом,
$\min\limits_{x\in[-1,1]}\max\limits_{y\in[-1,1]}(x^2-y^2)=\min\limits_{x\in[-1,1]}x^2=0$.

Если стоят два максимума подряд: $\max\limits_{x\in[-1,1]}\max\limits_{y\in[-1,1]}(x^2-y^2)=1$, фактически это означает, что берутся всевозможные $x\in[-1,1]$ и $y\in[-1,1]$, для них вычисляется $x^2-y^2$ и выбирается максимальное значение (оно равно $1$, при $x=\pm 1$, $y=0$).

Missiir в сообщении #1611018 писал(а):

$$R=\max\limits_{x\in R^{n}}\max\limits_{x^*\in X^*}\left\lbrace} \| x-x^* \|:H(x)\leq H(x_0)\right\rbrace$$

Но эта запись мне не кажется сильно хорошей. Существует запись $\max M$ (максимальное число в множестве $M$), существует запись $\max\limits_{x\in M}f(x)$ (максимальное значение функции $f$ на множестве $M$; то же самое можно написать как $\max\{f(x)\,|\,x\in M\}$), а в Вашем примере эти две формы записи смешиваются. Понять можно, что имеется в виду, но как-то не очень хорошо.

[Евгений Машеров]

Что максимизация проводится по обеим группам переменных, по иксам и по иксам со звёздочкой, причём для них задаются разные области. Проводится единожды, а не два раза, то есть двукратное упоминание максимума всего лишь условность, и как бы не оттого, что под один max оба определения областей значений не влазят.

[мат-ламер]

Евгений Машеров в сообщении #1611348 писал(а):

Проводится единожды, а не два раза

Наверное можно проводить как единожды, так и два раза (внутренний максимум как бы взять в скобки) с одинаковым результатом. При этом предполагая, что максимумы достигаются.

[Утундрий]

Такая запись имеет смысл, если первый (правый) максимум достигается на нескольких элементах, чтобы второму (левому) максимуму было из чего выбирать.