Трудности с пониманием формулировки задачи

[sydorov]

Пытаюсь закрепить теорию из лекций по математическому анализу с помощью следующего пособия:
Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах.

Споткнулся сразу. Постановка указанных ниже задач кажется не совсем корректной или,
скорее всего, я не понимаю некоторых тонкостей.

3. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, не имеющую
цифры 9 в периоде, можно получить как результат деления двух натуральных чисел.

4. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, имеющую в
периоде цифру 9, нельзя получить как результат деления двух натуральных чисел.

Вот, например, "любая периодическая десятичная дробь" может иметь знак минус.
Как быть с натуральными числами?

Или "цифра 9 в периоде". Это означает одну из цифр периода или как (9)?

Согласно теории "любая периодическая десятичная дробь" (со знаком плюс)
может быть представлена как результат деления двух натуральных чисел.
Это можно доказать с помощью формулы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Что одинаково для обеих задач.

Разумеется, я не критикую знаменитых авторов пособия. Совсем запутался.
На что стоит обратить внимание, подскажите пожалуйста?

[dgwuqtj]

Обычно условия задач не пишут полностью формально, но достаточно подробно, чтобы можно было восстановить детали самостоятельно. Дроби считаются положительными (ну, или неотрицательными, если 0 считается натуральным). А вообще по идее подразумевается алгоритм получения дроби делением в столбик, для него оба утверждения верны.

[sydorov]

dgwuqtj
Благодарю вас за подсказку.

[Утундрий]

1) $0.(123)=0.123(123)=0.123+10^{-3}\cdot0.(123)\quad\Rightarrow \qquad ? $

2) Попробуйте проделать то же с $0.(9)$

[TOTAL]

sydorov в сообщении #1610885 писал(а):

4. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, имеющую в
периоде цифру 9, нельзя получить как результат деления двух натуральных чисел

Туманный вопрос. Делите $19/99$.

А вот как правильно надо было спрашивать:
4. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, период которой равен 9, нельзя получить как результат деления двух натуральных чисел

[sydorov]

Уважаемый TOTAL, большое спасибо за уточнение и "контрпример".

Цитата:

А вот как правильно надо было спрашивать:
4. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, период которой равен 9, нельзя получить как результат деления двух натуральных чисел

Вероятно, стоило бы дополнить, как упомянул dgwuqtj:
используя алгоритм деления уголком.

Уважаемый Утундрий,
спасибо за наводящие вопросы - разобрался.