равенство нескольких средних

[AndreyL]

Дамы и Господа!

Возникла такая задача - есть $n$ измерений $X_i$, для каждого измерения есть стандартное отклонение погрешности этого измерения $\sigma_i$, предполагается, что погрешности подчиняются нормальному распределению. Как проверить гипотезу, что все эти измерения есть измерения одной и той же величины? Формально это гипотеза о равенстве нескольких средних. Были бы повторные измерения, получился бы однофакторный дисперсионный анализ, а как быть без повторных измерений, но с известными стандартными отклонениями?

[Missir]

проверьте, какому закону подчиняется распределение дисперсий,
можно попробовать свести всё к дисперсионному анализу

[ozheredov]

AndreyL

Почему бы не свипнуть пробное значение среднего $\mu$ от

XMin

до

XMax

(а можно и с запасом), каждый раз проверяя гипотезу о том, что выборка $\frac{X_i - \mu}{\sigma_i}$ подчиняется стандартному нормальному распределению? Если найдется $\mu$, прошедшее тест - Ваше предположение подтвердилось

[AndreyL]

Не совсем понял, что такое "свипнуть", но тут другой вопрос - каким критерием проверять нормальность при очень малых выборках?

[Missir]

Нужно просто проверить гипотезу на равенство выборочной и средней дисперсий по критерию Фишера $F(n-1,\infty)$, для нормального распределения он точный, для других - асимптотический.

[AndreyL]

Missir в сообщении #1610851 писал(а):

Нужно просто проверить гипотезу на равенство выборочной и средней дисперсий по критерию Фишера $F(n-1,\infty)$, для нормального распределения он точный, для других - асимптотический.

Можно чуть подробнее? Как будет выглядеть статистика, которая подчиняется Фишеру? Можно ли об этом где почитать?

[Евгений Машеров]

Я бы через хи-квадрат делал бы. Имеем оценку среднего (скажем, через взвешенное среднее, что нам 1 степень свободы съест; а если из независимых источников - то не съест), отклонения от него должны иметь нормальное распределение с дисперсией $\sigma_i^2$, делим на $\sigma_i$, получаем стандартное нормальное, возводим в квадрат и суммирует, будет $\chi^2$ с (n-1) степенями свободы (n предполагаю велико, а если нет - то надо учесть, что оценка среднего зависит от ошибок наблюдений, и делить надо на величину, зависящую от всех $\sigma_i$, но если велико - можно пренебречь).

[AndreyL]

Да, пока получается, что если в качестве весов использовать $w_i=1/\sigma_i^2$, то оценка среднего $a=\frac{1}{\sum _{i=1}^n w_i}\sum _{i=1}^n X_i w_i$ минимизирует сумму $\chi^2=\sum _{i=1}^n \frac{(X_i-a)^2}{\sigma_i ^2}$, которая, по идее, должна подчиняться $\chi_{n-1}^2$. Подскажите, пожалуйста, это совсем очевидно, или лучше на что нибудь сослаться? Справедлива ли здесь лемма Фишера, съедающая одну степень свободы при оценке среднего по выборке?

[Евгений Машеров]

Более точное выражение должно учитывать, что оценка зависит от $X_i$, но мне лень его выписывать, может, позже напишу. Но для больших n это несущественно (и ещё - разности между $X_i$ и оценкой уже не будут независимы. Как вариант - оценивать отклонение не от общей оценки, а от оценки, полученной по всем прочим.

[Missir]

AndreyL в сообщении #1610854 писал(а):

Missir в сообщении #1610851 писал(а):

Нужно просто проверить гипотезу на равенство выборочной и средней дисперсий по критерию Фишера $F(n-1,\infty)$, для нормального распределения он точный, для других - асимптотический.

Можно чуть подробнее? Как будет выглядеть статистика, которая подчиняется Фишеру? Можно ли об этом где почитать?

$$F(n-1,\infty)=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu_X)^2}{\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}$$

если предположить, что $\sigma_i^2$ точные, то лучше ничего не придумаете.

Это очень мощный тест, и пригоден не только для нормального, но и любого другого распределения. Как раз, хорошо работает на малых выборках. Значения F для бесконечного числа степеней свободы есть в некоторых таблицах, доступных в инете.

[AndreyL]

Missir в сообщении #1610871 писал(а):

$$F(n-1,\infty)=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu_X)^2}{\sum_{i=1}^n\sigma_i^2}$$

А какова оценка $\mu_X$?

[Missir]

AndreyL в сообщении #1610872 писал(а):

А какова оценка $\mu_X$?

это выборочное матожидание, всё вполне корректно

Тут весь вопрос в том, как Вы интерпретируете эти дисперсии, если как генеральную дисперсию, то они должны быть равны, а это похоже не так. Тогда можно рассмотреть модель из n подвыборок объёмом из m измерений каждая. В этом случае $x_i$ будут средними соответствующих подвыборок а $\sigma_i$ - их дисперсиями. Эта модель, похоже, наиболее реалистичная. Для её использования нужно предварительно оценить m, это можно сделать с помощью распределения Хи квадрат. Я выше об этом писал, но Вы похоже не поняли. Нужно подобрать m адекватное Вашему разбросу дисперсии, и использовать его в формуле вместо $\infty$. Я не видел Ваших данных, возможно разбросом дисперсии можно пренебречь, а возможно и нет.

[AndreyL]

Missir в сообщении #1610897 писал(а):

AndreyL в сообщении #1610872 писал(а):

А какова оценка $\mu_X$?

это выборочное матожидание, всё вполне корректно

Так $\mu_X=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n X_i$? Или как то иначе?

Интерпретация дисперсий очень простая - это дисперсия единичного измерения, поскольку измерение делается с конечной точностью. Действительно, тогда все объемы "выборок" можно считать бесконечными

[Евгений Машеров]

Нет, матожидание надо оценивать, как взвешенную среднюю.

[Missir]

AndreyL в сообщении #1611019 писал(а):

Так $\mu_X=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n X_i$

в описанной мной модели, предполагающей одинаковое число измерений использованных для определения дисперсии, именно так
но эта модель предполагает, что различия погрешностей случайное, так ли это - Вам виднее

если, например, величины измерены разными приборами, то различие погрешностей явно не случайное, тогда нужно считать по другому,
там действительно нужно брать средневзвешенное, а число степеней свободы определять ни как n а как сумму весов