Доказательство кратности определителя

[Oleksii]

Числа 104, 143, 234 кратны 13. Надо доказать, что определитель матрици

$$\begin{pmatrix} 1 0 4 \\ 1 4 3 \\ 2 3 4 \end{pmatrix}$$

кратен 13 без прямого нахождения самого определителя.

Я понимаю, что доказательство должно быть связано с тем что строки матрици "повторяют" числа, данные в начале. Я пытался транспонировать матрицу(посколько определитель от этого не меняется) и работать с определителем матрици как с обьемом паралелепипида, задоного соответсвенными векторами, но такой метод меня ни к чему не превел. Основное место, которое я не могу понять это взаимосвязь между числом 104 и вектором-строкой (1 0 4) (аналогично и для других чисел), которая явно должна фигурировать в решении.

[dgwuqtj]

Воспользуйтесь тем, что числа 104, 143, 234 получаются умножением строк вашей матрицы на конкретный столбец из степеней 10.

[Oleksii]

dgwuqtj в сообщении #1609488 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что числа 104, 143, 234 получаются умножением строк вашей матрицы на конкретный столбец из степеней 10.

Да, понял, что вектор-столбци из степеней 10 можно использовать в качестве умножетеля числа в определенном розряде. Но не совсем понимаю как можно использовать в докозательстве

[dgwuqtj]

Если всё рассматривать по модулю 13, то окажется, что матрица при умножении на ненулевой вектор даёт 0. Значит, у неё не полный ранг.

[Oleksii]

dgwuqtj в сообщении #1609494 писал(а):

Если всё рассматривать по модулю 13, то окажется, что матрица при умножении на ненулевой вектор даёт 0. Значит, у неё не полный ранг.

Что вы имеете ввиду под "всё", элементы матрици 3х3? Как матрица при умножение на ненулевой вектор может дать 0?

[dgwuqtj]

Ну вот так, может. Я имею в виду вообще всё, и матрицу, и вектор, и определитель, надо рассматривать над конечным полем $\mathbb F_{13}$.

[svv]

Oleksii в сообщении #1609497 писал(а):

Как матрица при умножение на ненулевой вектор может дать 0?

Ну, например,
$\begin{bmatrix}1&0&4\\1&4&3\\2&4&7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}16\\-1\\-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

[iifat]

Oleksii в сообщении #1609492 писал(а):

не совсем понимаю как можно использовать в докозательстве

Ну, вы можете прибавить к последнему столбцу второй без изменения значения определителя. А можете и предварительно второй умножить на чего-нить. А там и первый.

[Oleksii]

dgwuqtj в сообщении #1609498 писал(а):

Ну вот так, может. Я имею в виду вообще всё, и матрицу, и вектор, и определитель, надо рассматривать над конечным полем $\mathbb F_{13}$.

Я заметил, что если на место каждего элемента поставить его остаток от деления на число n, то и значение определителя новой матрици будет равнятся остачи от деления старого определителя на число n. Но насколько я понял теперьспомощью добавление строк и столбцов надо привести матрицу к виду, что бы элементы лдной из строк или столбцов были кратны 13, что бы получить столбец или строку из нулей?

[dgwuqtj]

Вы знаете, что линейная алгебра работает над любыми полями, в том числе из 13 элементов? Если нет, то можно поделать элементарные преобразования над исходной матрицей так, чтобы у неё в одном столбце всё делилось на 13. Тогда и определитель будет делиться.

[pppppppo_98]

Oleksii в сообщении #1609492 писал(а):

Да, понял, что вектор-столбци из степеней 10 можно использовать в качестве умножетеля числа в определенном розряде. Но не совсем понимаю как можно использовать в докозательстве

при умножении столбца на константу опредедитель умножается на ту же константу, при замене строки сумой других строк определитель не меняется.. умножаете первый столбкц на 100, второй на 10. Детерминант умножился на 1000 , но оно взаимно просто с 13.. затем менЯЕте ПЕРВЫй ст+ОБЕЦ НА СУМму первого второго и третьего. в первом столбце все элемены кратный 13. стало быть и опредео=литель кратен 13

[svv]

pppppppo_98, ок.
А ещё можно к третьему столбцу прибавить первый, умноженный на 100 (не меняя сам первый столбец) и второй, умноженный на 10 (тоже не меняя сам второй столбец). И это то, что советовали iifat и dgwuqtj (если привлечь немножко телепатии). Детерминант при этом не изменится.