Равномощность множеств

[kotenok-povarenok]

Необходимо доказать равномощность следующих множеств:
1) $\mathbb {N}$ и $\mathbb {N}^2$;
2) $[0, 1]$ и $[0, 1]^2$.

По определению множества равномощны, если между ними можно установить биекцию (не важно явную или нет). Хорошо, попытаемся это сделать.
В первом пункте нам даны счетные множества, поэтому стоило попробовать построить таблицу. Итого удалось построить биекцию: каждому n из $\mathbb {N}$ сопоставляется пара (k, m) из $\mathbb {N}^2$, где k - номер строки, m - номер столбца, а n - номер пары при обходе таблицы "змейкой". Понятно, что рано или поздно так мы доберемся до некоторой пары.
Во втором пункте единственное, что приходит в голову - геометрическая интерпретация. У нас есть квадрат и отрезок, но я не понимаю, куда идти дальше? Кажется, что даже это ведет в тупик.

Буду очень рад идеям.

[dgwuqtj]

Можно начать с биекции $[0, 1]$ и $2^{\mathbb N}$ (множества всех последоваельностей из $0$ и $1$).

[Geen]

kotenok-povarenok в сообщении #1609005 писал(а):

Необходимо установить биекцию

Что это значит? - предъявить конкретное отображение или доказать его существование?

[Евгений Машеров]

Чёт-нечет.

[мат-ламер]

kotenok-povarenok в сообщении #1609089 писал(а):

Во втором пункте единственное, что приходит в голову - геометрическая интерпретация.

У меня ещё пришла в голову интерпретация в виде десятичных дробей. Но тут возникают вопросы - как из одной десятичной дроби соорудить две, и наоборот, как две дроби ужать в одну?

[diletto]

https://dxdy.ru/topic97203.html

[Ende]

Не заметил вовремя, что тема в карантине исправлена, поэтому не стану делать замечание за дублирование темы из карантина. Темы объединены.

[dgwuqtj]

Геометрическая интерпретация на самом деле практически бесполезна, т.к. непрерывной биекции быть не может. А сильно разрывные уже не представить геометрически.

[Евгений Машеров]

мат-ламер в сообщении #1609092 писал(а):

У меня ещё пришла в голову интерпретация в виде десятичных дробей. Но тут возникают вопросы - как из одной десятичной дроби соорудить две, и наоборот, как две дроби ужать в одну?

$0.x_1y_1x_2y_2x_3y_3\cdots$

[Евгений Машеров]

dgwuqtj в сообщении #1609171 писал(а):

Геометрическая интерпретация на самом деле практически бесполезна, т.к. непрерывной биекции быть не может. А сильно разрывные уже не представить геометрически.

Был у меня знакомый, спросил, нет ли идей для кандидатской по IT. Я ему предложил сделать алгоритм сжатия изображения "по мотивам JPEG", только развёртку сделать по Пеано. То есть никаких разрывов на краях изображения, которые портят Фурье. Он реализовал, даже предъявил улучшение сжатия, но после защиты, кажется, это никуда не пошло.

[StepV]

kotenok-povarenok в сообщении #1609005 писал(а):

Необходимо доказать равномощность следующих множеств:
1) $\mathbb {N}$ и $\mathbb {N}^2$;

Попробую предложить вариант биекции по первому пункту написанному ТС. Отображение $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ легко задается функцией, обратное отображение приходится определять не функцией, а алгоритмом математических действий из нескольких шагов.
1. Отображение $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$. Пусть следующие переменные задают:
$n_1$ - строки таблицы,
$n_2$- столбцы таблицы
Вписываем в таблицу натуральные числа так, что их значения на каждой диагонали увеличиваются сверху вниз. Тогда отображение натурального в зависимости от $n_1,n_2$ производится функцией:
$N=f(n_1,n_2)=\frac {(n_1+n_2)\cdot(n_1+n_2+1)} {2} +n_1$
2. Обратное отображение $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\times\mathbb{N}$.
Используем формулу для $N$ при $n_1 = 0$, тогда для натуральных чисел, находящихся в нулевой строке, верна формула:
$S_n=\frac {n(n+1)} {2}$, где $n$ пробегает по значениям $n_2$.
2.1. Находим такие $S_n,S_{n+1}$, что для требуемого натурального числа $N$ выполняется неравенство: $S_n\leqslant N < S_{n+1}$,
2.2. Тогда $n_1=N-S_n$ и $n_2=n-n_1$

Посмотрите, пожалуйста, п.2.1. и 2.2. дают нам возможность утверждать, что обратное отображение существует?Или обязательно требуется функция?

[dgwuqtj]

StepV в сообщении #1609476 писал(а):

Посмотрите, пожалуйста, п.2.1. и 2.2. дают нам возможность утверждать, что обратное отображение существует?Или обязательно требуется функция?

В пункте 2.1 надо всё-таки $N < S_{n + 1}$. И обратное отображение можно задать формулами, с квадратными корнями и взятием целой части, просто они будут ещё неудобнее алгоритма.

[StepV]

dgwuqtj в сообщении #1609477 писал(а):

В пункте 2.1 надо всё-таки $N < S_{n + 1}$

Спасибо, это опечатался, уже исправил.

[dgwuqtj]

От того, что вы функцию задаёте алгоритмом вместо формулы, она не перестаёт быть функцией.