Неравенство

[student]

Докажите неравенство:
$\frac{x^2 y}{z}+\frac{y^2 z}{x}+\frac{z^2 x}{y}\ge x^2+y^2+z^2$, для положительных значений x,y,z.

[12d3]

Что-то здесь не так. Неравенство не выполняется, скажем, при $x = 1,\, y =2,\, z = 1000$.

[Dendr]

Рассмотрим все же как есть.
Поскольку $x, y, z \in \mathbb{R_+}$, то мы можем обозначить $x=az, y=bz$ (где тоже имеем $a, b \in \mathbb{R_+}$,) и поделить все на $z^2$, тогда неравенство приобретет следующий вид:

$$a^2b+\frac{b^2}{a}+\frac{a}{b}\ge a^2+b^2+1$$

Обозначим теперь $F(a,b) = a^2b + \frac{b^2}{a} + \frac{a}{b} - a^2 - b^2 - 1$ и определим точки (помимо тривиальной $(1, 1)$) в первом квадранте, в которых $F(a,b)=0$. Там, где эта функция положительна, данное неравенство выполняется, то есть "почти везде", кроме областей, ограниченных линиями на рисунке:


Верхняя кривая уходит на асимптоты $a=1$ и $b=a^2$, нижняя правая - $b=1$ и $ab=1$. Контрпример, приведенный выше ($a=0.001, b=0.002$) оказывается где-то внутри левой нижней петли.
Понятно, почему их три - из цикличности переменных мы переходим к "новым" переменным $(a, b) \rightarrow ({b\over{a}}, {1\over{a}}) \rightarrow ({1\over{b}},{a\over{b}})$. То есть, в принципе, достаточно предполагать, что $z$ - наибольшая величина из трех, и ограничиться петлей:

Внутри нее, напоминаю, неравенство не выполнено.

То есть следует накладывать дополнительное условие на переменные. Навскидку подходит, например,
${x\over y}+{y\over z}+{z\over x}\le 5.9$

[Gepidium]

12d3 в сообщении #1609057 писал(а):

Что-то здесь не так. Неравенство не выполняется, скажем, при $x = 1,\, y =2,\, z = 1000$.

А оно и не должно выполняться.

student в сообщении #1609031 писал(а):

Докажите неравенство...для положительных значений x,y,z.

В условии не сказано: "для любых положительных". Значит, для "каких-то" положительных".
А значит, для доказательства неравенства достаточно привести пример, т.е. тройку положительных чисел, удовлетворяющую данному неравенству.
Скажем, $x=y=z=1$. Доказано.
Я не права?

[Rak so dna]

Dendr в сообщении #1611555 писал(а):

То есть следует накладывать дополнительное условие на переменные. Навскидку подходит, например,
${x\over y}+{y\over z}+{z\over x}\le 5.9$

Для положительных $x,y,z$ можно доказать такое:

$\frac{x^2 y}{z}+\frac{y^2 z}{x}+\frac{z^2 x}{y}-\left( x^2+y^2+z^2\right)\ge \frac{1}{24}\left((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right)\left(\frac{59}{10}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right)$

Максимальное $p,$ для которого при ${x\over y}+{y\over z}+{z\over x}\le p$ верно $\frac{x^2 y}{z}+\frac{y^2 z}{x}+\frac{z^2 x}{y}\ge x^2+y^2+z^2$

$p\approx 5,925166293935521$ — корень многочлена $4p^3-23p^2+8p-72$