Случайные точки на окружности

[manul91]

$A$ выбирает случайную точку $P$ на окружности (равновероятно распределенную по углам).
$B$ выбирает $N$ дополнительных случайных точек $P_1$, $P_2$, ... $P_n$ на той же окружности (каждая из них, равновероятно распределенная по углам).
Каково среднее расстояние (или угол, все равно) точки $P$, до ближайшей из точек $P_1$, $P_2$, ... $P_n$?
(предполагается решать в уме, т.е. без бумаги, письменных вычислений и т.д.)

[Null]

Угол $\frac{\pi}{2n}$, а вот расстояние надо считать.

[KhAl]

Null у меня $\frac{\pi}{n+1}$ выходит, при угловой мере окружности $2\pi$.

[Null]

Да, $\frac{\pi}{n+1}=\int_0^{\pi}(1-\frac{2\alpha}{2\pi})^n d\alpha$ - матожидание минимума нескольких случайных величин.

[KhAl]

ой. а у меня вот как:

(Решение)

Будем считать, что $P$ находится в крайней слева точке окружности. Отразим некоторые из $P_1, ..., P_n$ относительно горизонтальной прямой, так, чтобы все оказались в верхней полуокружности. Запараметризуем верхнюю полуокружность отрезком $[0;\pi]$, и склеим точки $0$ и $\pi$. Теперь есть $n$ точек, случайно раскиданных по зацикленному отрезку, и нужно найти среднее расстояние от $P$ до ближайшей к ней справа. Можно считать, что все $n+1$ точки раскиданы по зацикленному отрезку случайно. Переходя от среднего по распределению к среднему по точкам (их $n+1$, а сумма расстояний до соседней $\pi$), получим $\frac{\pi}{n+1}$

думаю, задача всё же не предполагает подсчёта интегралов в уме, хотя это несложно.

[manul91]

KhAl

(Оффтоп)

KhAl в сообщении #1607233 писал(а):

Переходя от среднего по распределению к среднему по точкам (их $n+1$, а сумма расстояний до соседней $\pi$), получим $\frac{\pi}{n+1}$

Все так - и да, это предполагается известным