ИИ и кривая (x^2*y^2-1)*(x^2-y^2) = r^2

[Volik]

Здравствуйте, естественные интеллекты. На кривой $(x^2 y^2-1) (x^2-y^2) = r^2$ , с рациональным r, я не смог найти ни одной рациональной точки, отличной от тривиальных $[x=0, y= \pm r]$.
На Poe попросил ее найти Assistant, ChatGPT. Первый выбрал частный случай $r=2/3$ и, после ряда ошибок, "доказал" что таких нет. Второй сначала предложил параметризацию $ [x = (t^2-1)/(t^2+1), y = 2 t/(t^2+1)]$, но после указания на ошибки в преобразованиях, предложил "параметризацию" $[x^2 = a, y^2 = b]$ и нашел "рациональную" точку $[x=1, y= \sqrt{2}],(-1=r^2)$. Поле пристыжения, тоже заявил что других рациональных точек нет.
Может кто то из ЕИ найдет хоть одну такую точку? По смыслу задачи она должна быть!

[Rak so dna]

$y=1,~r=x^2-1$

[ozheredov]

Rak so dna в сообщении #1606371 писал(а):

$y=1,~r=x^2-1$

Это менее тривиально, чем

Volik в сообщении #1606367 писал(а):

$[x=0, y= \pm r]$.

?

-- 24.08.2023, 17:21 --

В нетривиальном случае, что такое нетривиальность...

[Rak so dna]

$(x,y,r):$

$\left(\frac{16}{21}, \frac{7}{6}, \frac{17}{42}\right)$

$\left(\frac{7}{4}, \frac{17}{28}, \frac{33}{56}\right)$

[Andrey A]

Volik в сообщении #1606367 писал(а):

$(x^2 y^2-1) (x^2-y^2) = r^2$

Cм. https://dxdy.ru/post1501223.html#p1501223, уравнение $(6).$ Дался Вам этот кубоид

[ozheredov]

Andrey A

Насколько я понял, топикстартер Искусственного Идиота проверял. И лично я под впечатлением: допустим, с точки зрения человека, шарящего в матан, он выдал полный бред, но по-моему мега-круто что он вообще понял, чего от него хотят и даже начал чего-то искать и доказывать.

[Volik]

Спасибо. Видимо плохо поставил вопрос. Относительно переменных $(x,r)$ или $(y,r)$, это эллиптическая кривая и ее точки мне не нужны. Частный случай $ r=q^2-1 $ просто добавляет еще одно тривиальное решение. Видимо нет способа найти такую точку при произвольном фиксированном $r$.

[Andrey A]

Volik в сообщении #1606414 писал(а):

Видимо нет способа найти такую точку при произвольном фиксированном $r$.

А кто сказал что $r$ — любое число? Уравнение $A^2+B^2=C^2$ не имеет решений в натуральных числах при фиксированном $C=19.$ Значит ли это, что на кривой $x^2+y^2=1$ нет рациональных точек?

ozheredov в сообщении #1606396 писал(а):

... мега-круто что он вообще понял, чего от него хотят

Это как с мелодиями — основной вопрос новой философии. Объяснить компьютеру чего от него хотят кроме того что что он умеет. Глядишь, и сами чего-нибудь поймем.

[Volik]

Исходная кривая имеет как минимум две тривиальные рациональные точки, при любом рациональном r. Поскольку род кривой 6, таких точек ограниченное количество Другое дело что, возможно, при некоторых r, других точек нет. Как для кривой $x^6+y^6=1$
Может действительно лучше рассматривать эллиптическую кривую , например, относительно $(x,r), y=\operatorname{const}$, с рациональными точками $(x=0, r= \pm y)$

[Andrey A]

Volik в сообщении #1606476 писал(а):

... таких точек ограниченное количество

Я не понимаю что такое ограниченное количество точек. Если имеется в виду конечное число, то это неправда. Уже давал Вам ссылку, ладно, перетащу сюда.

$$\begin{Vmatrix} n & x & y & r\\ 1 & \frac{2(m^2+1)}{3m} & \frac{3(m^4-m^2+1)}{(m^2+1)^2} & \frac{(m^2-1)(m^2-3m+1)(m^2+3m+1)(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{3m^2 (m^2+1)^3}\\ 2 & \frac{m(m^2-2)}{2m^2-1} & \frac{m(2m^4-2m^2+5)}{5m^4-2m^2+2} & \frac{6m(m^2-1) (m^2+1)^2 (m^2-3m+1)(m^2+3m+1)(m^4-m^2+1)}{(2m^2-1)^2 (5m^4-2m^2+2)^2}\\ 3 & \frac{(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{(m^2-2)(2m^2-1)} & \frac{(m^2-2)(4m^2+1)}{(m^2+4)(2m^2-1)} & \frac{24m(m^2+1)(2m^4-2m^2+5)(5m^4-2m^2+2)}{(m^2-2) (m^2+4)^2 (2m^2-1)^3}\\ 4 & \frac{(m+1)(m^2+3m+1)(2m^2-3m+2)}{(m-1)(m^2-3m+1)(2m^2+3m+2)} & \frac{2m^2+3m+2}{2m^2-3m+2} & \frac{4m(m^2-2)(m^2+4)(2m^2-1)(4m^2+1)}{(m-1)^2 (m^2-3m+1)^2 (2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}\\ 5 & \frac{3(m^4-1)}{(m^2-3m+1)(m^2+3m+1)} & \frac{(m-1)(m^2+3m+1)}{(m+1)(m^2-3m+1)} & \frac{(m-1)(m^2-2)(2m^2-1)(2m^2-3m+2)(2m^2+3m+2)}{(m+1) (m^2-3m+1)^3 (m^2+3m+1)}\\ & \frac{2(m^2+1)}{3m} & \frac{3(m^4-m^2+1)}{(m^2+1)^2} & ... \end{Vmatrix}$$

Подстановка элементов каждой из строк в уравнение $(x^2 y^2-1) (x^2-y^2) = r^2$ обращает его в тождество. Это называется решение — прямой ответ на Ваш вопрос. В данном случае имеем цикл из пяти $1-$параметрических решений, и каждое порождает бесконечное количество рациональных точек на соотв. кривой. Количество таких циклов также бесконечно (см. пост scwec'a). Вы стоите на своем, выдавая желаемое за действительное — решений сильного кубоида отсюда не следует. Насчет $y=\operatorname{const}$ говорилось уже. Не знаю. Ну попробуйте доказать, что при любом $y$ уравнение разрешимо (скорее всего это неверно).

[Volik]

Это не я утверждаю. Морделл предположил, а Фальтингс доказал, что "кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек". Вы приводите очень интересную параметризацию поверхности. Как использовать ее для кривых, т.е. сечений $x=\operatorname{const} $ или $y=\operatorname{const} $ или $r=\operatorname{const} $ я пока не знаю. Буду думать. А может Вы подскажете?

[Andrey A]

Volik в сообщении #1606520 писал(а):

... может Вы подскажете?

Это постилось почти 3 года назад, я уже и не помню ничего, а до Вас только дошло. Das ist Fantastisch! Ну ладно, привет Морделлу.

[Volik]

Еще не совсем дошло. Может ко времени передачи привета Морделлу еще разберусь. Но параметризация поверхности 6-го порядка, это что то!

[scwec]

Volik в сообщении #1606576 писал(а):

Но параметризация поверхности 6-го порядка, это что то!

Стандартно находится 1-параметрическое решение не упомянутое выше
$x=\dfrac{t^4+1}{2t(t^2-1)}$
$y=\dfrac{t^4+1}{2t(t^2+1)}$
$r= \dfrac{(t^4 + 1)(t^4 + 2t^2 - 1)(t^4 - 2t^2 - 1)}{{4t^2}{(t^4-1)^2}}$
При этом каждая скобка в исходном уравнении есть полный квадрат.

[Andrey A]

scwec
Рад видеть Вас в добром здравии. Вот приготовил цикл из последнего решения, он из пяти шагов (как и положено, заодно и проверил).
Являются ли квадратами скобки уравнения $(6)$ во всех пяти случаях — не проверял, думаю вряд ли. Не очень-то оно и важно. Привет!

$$\begin{Vmatrix} n & x & y & r\\ 1 & \frac{t^4+1}{2t(t^2-1)} $ & \frac{t^4+1}{2t(t^2+1)} & \frac{(t^4 + 1)(t^4 + 2t^2 - 1)(t^4 - 2t^2 - 1)}{{4t^2}{(t^4-1)^2}}\\ 2 & \frac{(t^4+2t^2-1)(t^4-2t^2-1)}{4t^2(t^4+1)} & \frac{t^4+2t^2-1}{ t(t^4-2t^2-1)}& \frac{(t^2-1)(t^4-2t^3-2t+1)(t^4-2t^3+4t^2-2t+1)(t^4+2t^3+2t+1)(t^4+2t^3+4t^2+2t+1)}{32t^5(t^4+1)(t^2+1)^2}\\ 3 & \frac{ t(t^4+2t^2-1)}{ t^4-2t^2-1} & \frac{t^4+2t^3-2t+1}{ t^4-2t^3+2t+1} & \frac{(t^2-1)(t^4-2t^3-2t+1)(t^4+2t^3+2t+1)(t^8+4t^6-6t^4+4t^2+1)}{(t^4-2t^2-1)^2(t^4-2t^3+2t+1)^2} \\ 4 & \frac{ t^4+2t^3+2t+1 }{ t^4-2t^3-2t+1 } & \frac{ t^8+4t^6-6t^4+4t^2+1 }{ t^8-4t^6-6t^4-4t^2+1 } & \frac{8t(t^2-1)(t^4+1)(t^4-2t^3+4t^2-2t+1)(t^4+2t^3+4t^2+2t+1)}{(t^4+2t^3+2t+1)(t^4-2t^3-2t+1)^3} \\ 5 & \frac{(t-1)(t^4+2t^3+2t+1)}{(t+1)(t^4-2t^3-2t+1)} & \frac{(t-1)(t^4+2t^3+4t^2+2t+1)}{(t+1)(t^4-2t^3+4t^2-2t+1)} & \frac{16t^2(t-1)(t^2+1)(t^4+1)(t^2-2t-1)(t^2+2t-1)}{(t+1)^3(t^4-2t^3-2t+1)^2(t^4-2t^3+4t^2-2t+1)^2} \\ & \frac{t^4+1}{2t(t^2-1)} & \frac{t^4+1}{2t(t^2+1)} & ... \end{Vmatrix}$$