Виртуальные перемещения в голономных системах

[Norma]

В голономных системах виртуальные перемещения независимы. Мне хотелось бы это доказать.
Голономная система - это система, у которой дифференциальные связи(зависящие от скоростей) сводятся к геометрическим, то есть связь можно представить в виде:

$f(r_1,..., r_N)=0$

Виртуальные перемещения:

$\delta r_i= v_i \delta t$
Можно взять дифференциал от обеих частей геометрической связи - получится линейная комбинация векторов, равная нулевому вектору. Но сказать, что равенство нулю выполняется только при равных нулю коэффициентах вроде как нельзя.

[svv]

Norma в сообщении #1606078 писал(а):

Но сказать, что равенство нулю выполняется только при равных нулю коэффициентах вроде как нельзя.

Конечно, нельзя.

Ограничение $f_1(q_1,...,q_N)=0$ (где $q$ — это Ваши $r$) задаёт в $N$-мерном пространстве $(N-1)$-мерную поверхность. Допустимы только конфигурации системы с таким набором обобщённых координат $(q_i)$, что точка с такими координатами в $\mathbb R^N$ лежит на этой поверхности.

Добавляем ещё одно ограничение $f_2(q_1,...,q_N)=0$. Это другая $(N-1)$-мерная поверхность. Теперь уже нужно, чтобы изображающая конфигурацию системы точка лежала одновременно на обеих поверхностях, то есть на их пересечении. В типичных (или интересующих нас) ситуациях пересечение будет $N-2$-мерно. И так далее. При $M$ ограничениях у нас получится $N-M$-мерная поверхность $S$ (вырожденные случаи не рассматриваем). Изображающая точка должна лежать на $S$.

В каждой точке $P$ поверхности $S$ виртуальному перемещению соответствует некоторый касательный вектор. Множество касательных векторов в каждой точке поверхности образует касательное векторное пространство размерности $N-M$. Естественно, можно выбрать базис и все касательные векторы по нему раскладывать. Бесконечно малое смещение в направлении касательного вектора не выводит нас за пределы $S$.

Если взять дифференциал от $k$-го ограничения, получится (зависящая от точки) дифференциальная форма
$\frac{\partial f_k}{\partial q_1}dq_1+...+\frac{\partial f_k}{\partial q_N}dq_N$
Так получается $M$ дифференциальных форм. Каждый касательный вектор (т.е. виртуальное перемещение) в точке $P$ поверхности $S$ обращает в нуль все $M$ этих форм, взятых в той же точке.