Интересные возможности необычного подхода к ВТФ

valentin_v_08 · 28/07/08 ∞ 1

ИНТЕРЕСНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ НЕОБЫЧНОГО ПОДХОДА
К ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЕ ФЕРМА

В конце июня 2008 года на нашем форуме в разделе дискуссионных тем появилось сообщение "НОВЫЙ ПОДХОД К ТЕОРЕМЕ ФЕРМА", в котором автор предложил интересный подход к доказательству ВТФ, используя в качестве отправной точки Z-ричные системы счисления. Трудно утверждать, насколько нов такой подход, но можно показать его интересные возможности, которые не увидел автор сообщения, судя по стилю изложения, не являющийся профессиональным математиком. Где же эти возможности? Они открываются с доказательством вспомогательной теоремы, которая в авторской трактовке звучит так: "Необходимым и достаточным условием выполнения равенства
$X^n + Y^n = Z^n$ ( $X,Y,Z,n \in N,$ причём X, Y, Z – взаимно простые числа, n≥2) является выполнение n равенств вида: $a_0 + b_0 = a_i + b_i + 1 = Z,$ образованных целочисленными коэффициентами $a_0 ,a_i$ и $b_0 ,b_i (i \in \left[ {1;n - 1} \right]) Z -$ полиномов, порождённых целочисленными функциями $X^n$ и $Y^n$ ".

Если к правой части выражения
$X^n + Y^n = (a_{n - 1} + b_{n - 1} )Z^{n - 1} + (a_{n - 2} + b_{n - 2} )Z^{n - 2} + ... + (a_3 + b_3 )Z^3 + (a_2 + b_2 )Z^2 + (a_1 + b_1 )Z + a_0 + b_0 (1)$
применить необходимое и достаточное условия, то получаются равенства вида:
$(a_i + b_i )Z^i + (a_{i - 1} + b_{i - 1} )Z^{i - 1} + ... + (a_1 + b_1 )Z + a_0 + b_0 = Z^{i + 1} (2)$

Очевидно, из такого равенства следует уравнение вида:
$Z^i - kZ^{i - 1} - ... - kZ - k - 1 = 0$ (3)

Полагая Z нечётным натуральным числом, видно, что k должно быть чётным натуральным числом (см. формулировку теоремы).
Если будет доказана невозможность существования натурального числа k, при котором уравнение (3) имеет хотя бы один натуральный корень, то это означает невыполнимость равенства (2) и последующую невыполнимость равенства (1). Исходя из этого, задача состоит в нахождении такого минимального значения i, при котором уравнение (3) для условия натурального числа k не имеет ни одного натурального корня.
Рассмотрим пример. Проверим, могут ли при i=2 существовать такие натуральные числа k, при которых уравнение
$Z^2 - kZ - k - 1 = 0$ (4)
имеет хотя бы один натуральный корень?
$Z_{1,2} = \frac{k} {2} \pm \sqrt {\frac{{k^2 }} {4} + k + 1}$

Можно найти, что при k=6 получается натуральный корень, равный 7. Из этого следует, что нельзя считать выполненным неравенство
$(a_2 + b_2 )Z^2 + (a_1 + b_1 )Z + a_0 + b_0 \ne Z^3$ (5)
и использовать его в качестве базы для дальнейшего доказательства ВТФ. Именно такую ситуацию заметил один из участников нашего форума. Казалось бы, это должно побудить автора рассмотреть случай i=3. Но автор, упорно стараясь опереться на Л.Эйлера, вступил в непонятную и нелогичную дискуссию с участниками форума.
Поможем автору: рассмотрим случай i=3.
$Z^3 - kZ^2 - kZ - k - 1 = 0$ (6)
Для корней этого уравнения ( $Z_1 ,Z_2 ,Z_3$ ) должны выполняться следующие соотношения:
I) $Z_1 + Z_2 + Z_3 = k$
II) $Z_1 Z_2 + Z_1 Z_3 + Z_2 Z_3 = - k$ (7)
III) $Z_1 Z_2 Z_3 = k + 1$
Выполним анализ соотношений (7) с целью оценки возможности существования натурального числа k и хотя бы одного корня, являющегося натуральным числом. Представляются три благоприятных ситуации:
a) все три корня – целые,
b) один корень- целый, два других – дробные,
c) один корень - целый, два других – комплексные сопряжённые.
В ситуации (а) не согласуются равенства (I) и (III) соотношений (7). Действительно, если k -чётное, то (k+1)- нечётное. Следовательно, в равенстве (III) $Z_1 ,Z_2 ,Z_3$ не могут быть чётными. В то же время для выполнения равенства (I) хотя бы один из корней должен быть чётным.
В ситуации (в) не согласуются равенства (I) и (III). Действительно, пусть $Z_1 = \frac{p} {q}.$ Тогда для выполнения равенства (III) один из двух корней (например, $Z_2$ ) должен быть равен $Z_2 = \frac{{mq}} {p}.$ Из равенства (I) следует, что $Z_3 = k - \frac{p} {q} - \frac{{mq}} {p}.$ Получается, что $Z_3$ , во-первых, не является целым и, во-вторых, является меньше k, чего быть не может.
В ситуации (с) не согласуются равенства (II) и (III). Действительно, пусть $Z_1$ , – натуральный корень, $Z_2$ , и $Z_3$ , - комплексные сопряжённые корни:
$Z_2 = c - di,Z_3 = c + di.$ Тогда равенство (II) запишется так:
$Z_1 (c - di) + Z_1 (c + di) + c^2 + d^2 = - k$ , из чего следует, что $Z_1 = - \frac{{(k + c^2 + d^2 )}} {{2c}},$ то есть является отрицательным числом, чего быть не может.
Таким образом, анализируя соотношение (7), можно сделать вывод о несуществовании в уравнении (6) такого натурального числа k, для которого существует хотя бы один корень, являющийся натуральным числом. Значит, можно сделать вывод о выполнении неравенства
$(a_3 + b_3 )Z^3 + (a_2 + b_2 )Z^2 + (a_1 + b_1 )Z + a_0 + b_0 \ne Z^4$ (8)
Далее, следуя логике автора, можно использовать полученное неравенство в качестве БАЗЫ дальнейшего доказательства ВТФ, то есть можно доказать, что $X^n + Y^n \ne Z^n$ при натуральных взаимно простых числах X, Y, Z и n≥4. Очевидно, что случай n=3 выпадает из такой схемы доказательства. Вот здесь-то целесообразно опереться на доказательство Л.Эйлера для n=3 как на особый случай.
Если бы оказалось, что для уравнения (6) существует такое натуральное число k, при котором это уравнение имеет хотя бы один корен, являющийся натуральным числом, то следовало бы рассмотреть случай i=4 и уравнение
$Z^4 - kZ^3 - kZ^2 - kZ - k - 1 = 0$ (9)

Далее идти по выше описанной схеме рассуждений.
ВЫВОД: предложенная в сообщении "НОВЫЙ ПОДХОД К ТЕОРЕМЕ ФЕРМА" концепция использования Z-ричной системы счисления представляется интересной и перспективной для доказательства ВТФ.

TOTAL · 23/08/07 5500 Нов-ск

valentin_v_08 писал(а):

ИНТЕРЕСНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ НЕОБЫЧНОГО ПОДХОДА
К ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЕ ФЕРМА

Очевидно, из такого равенства следует уравнение вида:
$Z^i - kZ^{i - 1} - ... - kZ - k - 1 = 0$ (3)

Полагая Z нечётным натуральным числом, видно, что k должно быть чётным натуральным числом (см. формулировку теоремы).
Если будет доказана невозможность существования натурального числа k, при котором уравнение (3) имеет хотя бы один натуральный корень, то это означает

Это означает, что $k=Z-1$

Someone · 23/07/05 17982 Москва

valentin_v_08 в сообщении #135901 писал(а):

В конце июня 2008 года на нашем форуме в разделе дискуссионных тем появилось сообщение "НОВЫЙ ПОДХОД К ТЕОРЕМЕ ФЕРМА"...

Вот этот, что-ли?

cepesh · 11/05/05 4313

valentin_v_08

!	cepesh:
	Вы заблокированы как клон пользователя fon valery. В свою очередь fon valery забанен навсегда за нарушение правил форума.

Научный форум dxdy

Правила форума

Интересные возможности необычного подхода к ВТФ

Кто сейчас на конференции