Угловая скорость твердого тела.

[Norma]

В одном учебнике угловая скорость вводится через антисимметричную матрицу: $\dot{r}=\Omega\cdot r= \omega \times r$. И компоненты угловой скорости выражаются через компоненты данной матрицы.

В другом месте угловая скорость вводится как угловая скорость репера: $\omega = e_1(\dot{e_2},e_3)+e_2(\dot{e_3},e_1)+e_3(\dot{e_1},e_2)$

Я правильно понимаю, что это совсем разные определения и доказать их эквивалентность нельзя? Хотя бы потому, что в первом случае мы имеем дело с угловой скоростью твердого тела, а во втором с угловой скоростью базиса.

[svv]

У нас есть ортонормированный базис $(\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)$. Разложим по нему вектор $\boldsymbol{\omega}$:
$\boldsymbol{\omega}=\omega_1\mathbf e_1+\omega_2\mathbf e_2+\omega_3\mathbf e_3=\omega_i\mathbf e_i$
Скалярно умножим это равенство на $\mathbf e_k$ и используем $\mathbf e_i\cdot\mathbf e_k=\delta_{ik}$. Получим $\omega_k=\mathbf e_k\cdot\boldsymbol{\omega}$. Значит,
$\boldsymbol{\omega}=\mathbf e_1(\mathbf e_1\cdot\boldsymbol{\omega})+\mathbf e_2(\mathbf e_2\cdot\boldsymbol{\omega})+\mathbf e_3(\mathbf e_3\cdot\boldsymbol{\omega})$
Если вдобавок базис правый, то
$\mathbf e_1=\mathbf e_2\times\mathbf e_3,\quad\mathbf e_2=\mathbf e_3\times\mathbf e_1,\quad\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2$
И тогда
$\boldsymbol{\omega}=\mathbf e_1\bigl((\mathbf e_2\times\mathbf e_3)\cdot\boldsymbol{\omega}\bigr)+\mathbf e_2\bigl((\mathbf e_3\times\mathbf e_1)\cdot\boldsymbol{\omega}\bigr)+\mathbf e_3\bigl((\mathbf e_1\times\mathbf e_2)\cdot\boldsymbol{\omega}\bigr)$
Используем циклическое свойство смешанного произведения:
$\boldsymbol{\omega}=\mathbf e_1\bigl((\boldsymbol{\omega}\times\mathbf e_2)\cdot\mathbf e_3\bigr)+\mathbf e_2\bigl((\boldsymbol{\omega}\times\mathbf e_3)\cdot\mathbf e_1\bigr)+\mathbf e_3\bigl((\boldsymbol{\omega}\times\mathbf e_1)\cdot\mathbf e_2\bigr)\qquad(*)$

До сих пор не была использована какая-либо специфика вектора $\boldsymbol{\omega}$, формула $(*)$ справедлива для произвольного вектора (а если векторы зависят от времени — то и в произвольный момент). Но если теперь использовать Ваше первое определение $\dot{\mathbf r}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r$ и подставить вытекающие из него равенства $\boldsymbol{\omega}\times\mathbf e_k=\dot{\mathbf e}_k$ в $(*)$, мы получим Ваше второе определение
$\boldsymbol{\omega}=\mathbf e_1(\dot{\mathbf e}_2\cdot\mathbf e_3)+\mathbf e_2(\dot{\mathbf e}_3\cdot\mathbf e_1)+\mathbf e_3(\dot{\mathbf e}_1\cdot\mathbf e_2)$

Norma в сообщении #1605585 писал(а):

в первом случае мы имеем дело с угловой скоростью твердого тела, а во втором с угловой скоростью базиса

Но базис можно (как это очень часто делается) связать с твёрдым телом.

[Norma]

svv
Спасибо большое!

[svv]

Norma, пожалуйста.

svv в сообщении #1605594 писал(а):

использовать Ваше первое определение $\dot{\mathbf r}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r$ и подставить вытекающие из него равенства $\boldsymbol{\omega}\times\mathbf e_k=\dot{\mathbf e}_k$

Тривиальное, пожалуй, замечание, но я его проговорю. Уравнение $\dot{\mathbf r}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r$ справедливо для всякого вектора $\mathbf r$, который неподвижен относительно твёрдого тела и вращается вместе с ним. Но отнюдь не для всякого вектора вообще!

Однако если мы связываем базис $(\mathbf e_k)$ с твёрдым телом, то для каждого вектора $\mathbf e_k$ уравнение справедливо:
$\dot{\mathbf e}_k=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf e_k$

(Формальности)

Пусть мы зафиксировали некоторый базис $(\tilde{\mathbf e}_i)$, назовём его неподвижным.

Произвольный базис $(\mathbf e_k)$ можно разложить по векторам неподвижного:
$\mathbf e_k = \tilde{\mathbf e}_i P^{\tilde i}{}_{k}$
Если коэффициенты разложения $P^{\tilde i}{}_{k}$ являются функциями времени, то базис $(\mathbf e_k)$ назовём зависящим от времени:
$\mathbf e_k(t) = \tilde{\mathbf e}_i P^{\tilde i}{}_{k}(t)$
Такой базис назовём жёстким, если функции $\mathbf e_k(t)$ непрерывны, а скалярные произведения базисных векторов постоянны:
$\mathbf e_j(t)\cdot\mathbf e_k(t)=\operatorname{const}$

Тело можно назвать твёрдым, если существует такой репер
(начало отсчёта $O(t)$; жёсткий базис $(\mathbf e_k(t))$),
в котором координаты каждой частички тела постоянны. Сам такой базис назовём связанным с этим твёрдым телом.