Гомотопический слой вложения

[Leeb]

Есть две задачи:
1. Найти гомотопический слой вложения $i\colon X\vee X\vee ... \vee X = X^{\vee n}\hookrightarrow X\times X\times ... \times X = X^{n}$ (опционально $X_1\vee X_2 \vee...\vee X_n \hookrightarrow X_1\times X_2\times \ldots \times X_n$), где каждое слагаемое букета вкладывается в сомножитель естественным образом.


Для двух пространств допустимо такое решение: рассмотрим вложение $i\colon X\vee Y \to X\times Y$. Представим его как объединение двух расслоений $X\to X\times Y$ и $Y\to X\times Y$, каждое - тождественное вложение в множитель. Очевидно, что слои этих расслоений $\Omega Y$ и $\Omega X$ соответственно. По определению слой это пространство $F$, входящее в квадрат (см. картинку, т.к. не знаю как здесь рисовать диаграммы):

(Оффтоп)

, а наше расслоение букета $X\vee Y \to X\times Y$ это по сути склейку расслоений по расслоению точки над $X\times Y$. Таким образом мы имеем объединение $ P X \times \Omega Y \cup_{\Omega Y\times \Omega X} \Omega X \times PY $. Но такое объединение гомотопически эквивалентно джойну $\Omega Y * \Omega X$, поскольку джойн $A*B$ представим как склейке $CA\times B\cup_{A\times B} A\times CB$ (склеиваем конусы по "основаниям"). Таким образом получаем ответ для случая вложения букета двух пространств как джойн. Но здесь есть два вопроса:
1) во-первых, я не уверен, можно ли в принципе так рассуждать? Как это сделать аккуратно и точно?
2) вовторых, если мы попробуем применить такую же конструкцию к уже случаю трех пространств, то получится уже более громоздкая конструкция, на первый взгляд не сводящаяся к известным действиям с топ пространствами. Вполне возможно что сводится, но мне не очевидно. Если точнее, то мы получим аналогичный декартов квадрат (пока для случая трех пространств)

(Оффтоп)

, и аналогичным образом, склеивая уже три расслоения $X,Y,Z\to X\times Y \times Z$ со слоями $\Omega Y\times \Omega Z$, $\Omega X\times \Omega Z$ и $\Omega X \times \Omega Y$ соответственно, получаем итоговый гомотопический слой как $ PX\times \Omega Y \times \Omega Z \cup_{\Omega X\times \Omega Y\times \Omega Z} \Omega X\times PY \times \Omega Z \cup_{\Omega X\times \Omega Y\times \Omega Z} \Omega X\times \Omega Y \times PZ$. Вроде бы так?


2. Найти гомотопический слой вложений $\mathbb{R}P^\infty \vee ... \vee \mathbb{R}P^\infty \to \mathbb{R}P^\infty \times ... \times \mathbb{R}P^\infty $, $\mathbb{C}P^\infty \vee ... \vee \mathbb{C}P^\infty \to \mathbb{C}P^\infty \times ... \times \mathbb{C}P^\infty$, $\mathbb{H}P^\infty \vee ... \vee \mathbb{H}P^\infty \to \mathbb{H}P^\infty \times ... \times \mathbb{H}P^\infty $ (везде $n$ слагаемых и сомножителей). Точнее, доказать, что слой каждого из этих расслоений гомотопически эквивалентен дополнению в $\mathbb{K}^n$ к объединению всех координатных подпространств коразмерности 2 (относительно $\mathbb{K}$), где $\mathbb{K} = \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ соответственно. Нужно доказать непосредственно. Проверка в малых размерностях (до 3) дает это, но общий случай сильно неочевиден.

[Утундрий]

Leeb в сообщении #1605543 писал(а):

не знаю как здесь рисовать диаграммы

$$\xymatrix{ F \ar[r] \ar[d] & PX \times PY \ar[d] \\ X \vee Y \ar[r]^-i & X \times Y }$$

[Leeb]

Утундрий в сообщении #1605555 писал(а):

Leeb в сообщении #1605543 писал(а):

не знаю как здесь рисовать диаграммы

$$\xymatrix{ F \ar[r] \ar[d] & PX \times PY \ar[d] \\ X \vee Y \ar[r]^-i & X \times Y }$$

Спасибо, запомню как шаблон!

[Утундрий]

Утащил отсюда: «Руководство по использованию XY-pic на форуме»Там ещё много чего интересного.

[Leeb]

Забыл сказать: для случаев вложений букетов в торы $S^1\vee S^1 \to S^1\times S^1$ и $S^1\vee S^1\vee S^1 \to S^1 \times S^1 \times S^1$ ответы, похоже, правильные, т.к. в этих случаях легко видеть, что у слой должен быть $K(G,1)$ и $K(H,1)$, где $G$ и $H$ - коммутанты групп $F(2)$ и $F(3)$ соответственно. А джойн двух пространств петель окружности это как раз бесконечный букет окружностей (полученный объединением вертикальных и горизонтальный прямых на плоскости, проходящих по узлам решетки) и "странное объединение" петель на окружности тоже вроде бы дает нам объединение всех прямых, параллельных осям и проходящих через узлы решетки.

[Leeb]

Почти разобрался в итоге. Да, конструкция для трех пространств верная, и она же верна для $n$ пространств. Также выяснилось, что она расщепляется в букет, но довольно сложно: уже для $n=3$ мы будем иметь

$$F \simeq (\Sigma \Omega X \wedge \Omega Y) \vee (\Sigma \Omega Y \wedge \Omega Z)\vee(\Sigma \Omega Z \wedge \Omega X) \vee (\Sigma \Omega X \wedge \Omega Y \wedge \Omega Z) \vee (\Sigma \Omega X \wedge \Omega Y \wedge \Omega Z) $$

. А задачу про дополнения можно решить, например, через полиэдральные произведения и тот факт, что $(EG,G)^K \to (BG)^K\to \prod BG$, т.е. все-таки сложной техникой. Прямолинейное решение наверное будет построением какого-нибудь расслоения над $\mathbb{K}P^\infty \times ... \times \mathbb{K}P^\infty$ путем модификации тавтологического, но пока не придумал, подумаю еще.