Надо найти неизвестную функцию

[tav]

Здравствуйте!

Подскажите, существует ли способ найти (хотя бы приближенно/численно) функцию $f(x)$, исходя из того, что: $\int_{-\infty}^{\infty}e^{10x-f(x)}[\frac{df} {dx} -\frac{1} {2}] dx=0$
Функция $f(x)$ вещественная, а $x$ - вещественная переменная.

[пианист]

Имеется в виду, любую такую, что..?

[ozheredov]

tav
$\frac{x}{2}$.
Не благодарите.

[tav]

пианист в сообщении #1605533 писал(а):

Имеется в виду, любую такую, что..?

ozheredov в сообщении #1605535 писал(а):

tav
$\frac{x}{2}$.
Не благодарите.

Извините, уточню:

$f(0)=C_{1}\\ \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=C_{2}\\ C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}\\ C_{1}>0,C_{2}<0$

[mihiv]

Нужно ещё знать поведение $f(x)$ при $x\to +\infty $.

[tav]

mihiv в сообщении #1605703 писал(а):

Нужно ещё знать поведение $f(x)$ при $x\to +\infty $.

А если верхний предел интегрирования равен нулю и $f(x)$ существует только при $x\leqslant0$?

[mihiv]

tav в сообщении #1605709

А если верхний предел интегрирования равен нулю и [math]$f(x)$[/math] существует только при [math]$x\leqslant0$[/math]?[/quote]
Тогда интегруем по частям и получим интегральное уравнение[math]$$9.5\int _{-\infty }^{0}e^{10x -f(x)}dx=e^{-C_1}$$[/math]

[size=75]-- Пт авг 18, 2023 17:42:22 --[/size]

[quote="mihiv в сообщении #1605731 писал(а):

[quote="tav в сообщении #1605709

А если верхний предел интегрирования равен нулю и $f(x)$ существует только при $x\leqslant0$?

Тогда интегруем и получим интегральное уравнение

$$9.5\int _{-\infty }^{0}e^{10x -f(x)}dx=e^{-C_1}$$

[tav]

mihiv в сообщении #1605731 писал(а):

Тогда интегруем по частям и получим интегральное уравнение

$$9.5\int _{-\infty }^{0}e^{10x -f(x)}dx=e^{-C_1}$$

Я получил следующее решение этого уравнения $f(x)=C_{1}+\log(0.95)$
Будет ли оно единственным?

[mihiv]

tav
но должно быть $f(0)=C_1$ по условию.

[tav]

mihiv в сообщении #1607378 писал(а):

tav
но должно быть $f(0)=C_1$ по условию.

Кроме угадывания $f(x)=\frac{x}{2}+C_1$ у меня больше ничего не получается.

[mihiv]

А условие $\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=C_2, C_2<0$ должно выполняться ?

[tav]

mihiv
Да, нужно такое решение, чтобы и это условие выполнялось.

[mihiv]

Мне кажется тут нет единственности решения. Сейчас у меня плохой интернет, подробнее напишу позже.

[Taus]

Введём $g(x) = e^{-f(x)}$ и $f(x) = -\ln g(x)$, тогда

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{10x} (g' + g/2)dx = 0$$

что сводится к решению дифференциального уравнения

$$\begin{aligned}&g' + g / 2 = F(x) e^{-10x}\\ &g(0) = e^{-C_1} \\ &g(-\infty) = e^{-C_2}\end{aligned}$$

и выбору функций $F(x)$ такой, что $\int_{-\infty}^{+\infty} F(x) dx = 0$. Не забудьте определить условия на функции, при которых интегралы сходятся.

[mihiv]

Покажем, что решение уравнения:

$$9.5\int \limits _{-\infty }^0e^{10x-f(x)}dx=e^{-C_1}\eqno (1)$$

не единственно.
Положим $f(x)=C_1+f_1(x)$,тогда очевидно,что $f_1(0)=0,\lim \limits _{x\to -\infty }=C_2-C_1.$
Подставляя выражение для $f(x)$ в $(1)$, получим уравнение:

$$\int \limits _{-\infty }^0e^{10x-f_1(x)}dx=\dfrac 1{9.5}\eqno (2)$$

Будем искать $f_1(x)$ в виде

$$f_1(x)=\dfrac {(C_2-C_1)x^2}{x^2+a}\eqno (3)$$

. В (3) параметр $a\in [0,+\infty )$ При выборе $f_1(x)$ в виде (3) интеграл $I$ в уравнении (2) монотонно убывающая непрерывная функция параметра $a$, равная $\dfrac {e^{(C_1-C_2)}}{10}$ при $a=0$ и равная $\dfrac 1{10}$ при $a=+\infty $, то есть при некотором значении параметра $a, I(a)=\dfrac 1{9.5}(\text {если только} e^{(C_1-C_2)}>\dfrac {10}{9.5})$.
Но функцию $f_1(x)$ можно было выбрать, например, и в виде:

$$f_1(x)=\dfrac {(C_2-C_1)x^4}{x^4+a}$$

и аналогичным образом получить еще одно решение уравнения (2).
Таким образом решение уравнения (2) не единственно.