2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение15.08.2023, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12495
В этом параграфе впервые появляются частные производные по координатам, которые будем обозначать индексом после запятой: $f_{,\mu} \equiv \dfrac{\partial f}{\partial x^{\mu}}$.

Роль координат состоит только в том, что они отмечают события. Если вместо чисел $x^0,x^1,x^2,x^3$ ввести какие-то другие $x^{0'},x^{1'},x^{2'},x^{3'}$, однозначно связанные с предыдущими, то не видно никаких оснований предпочесть один набор меток другому. Такие взаимно однозначные преобразования координат будем называть допустимыми.

Необходимым (но не достаточным!) условием допустимости преобразования координат является отличие от нуля якобиана преобразования: $\operatorname{det}(x^{\mu'}_{,\nu}) \ne 0$.

Времениподобный интервал интерпретируется как собственное время и потому не может зависеть от переименования меток на событиях. Следовательно, интервал $\delta s$ является инвариантом допустимых преобразований. Этот факт, вкупе с законом изменения дифференциала координат $dx^{\mu'}=x_{,\alpha}^{\mu'}dx^{\alpha}$, даёт закон изменения ковариантных компонент метрического тензора $g_{\mu \nu}=x_{,\mu}^{\alpha'} x_{,\nu}^{\beta'} g_{\alpha' \beta'}$, который мы будем здесь нещадно эксплуатировать.

Несколько слов о физической размерности.

Координаты $x^{\mu}$ будем считать безразмерными, а ковариантные компоненты метрического тензора $g_{\mu \nu}$ - имеющими размерность квадрата секунды.

§2 Хронометрические преобразования

Рассмотрим произвольное допустимое преобразование координат
$$x^{\mu'}=x^{\mu'}(x^0,x^1,x^2,x^3) \eqno (2,1)$$Тогда с необходимостью выполнено условие
$$ J \equiv \left| {\begin{array}{cccc}
x_{,0}^{0'} & x_{,1}^{0'}  & x_{,2}^{0'}   & x_{,3}^{0'}   \\
x_{,0}^{1'} & x_{,1}^{1'}  & x_{,2}^{1'}   & x_{,3}^{1'}   \\
x_{,0}^{2'} & x_{,1}^{2'}  & x_{,2}^{2'}   & x_{,3}^{2'}   \\
x_{,0}^{3'} & x_{,1}^{3'}  & x_{,2}^{3'}   & x_{,3}^{3'}   \\
 \end{array} } \right| \ne 0 \eqno (2,2)$$Преобразование $(2,1)$ будем называть хронометрическим, если из $dx^i=0$ следует $dx^{i'}=0$. То есть, если новые координаты остаются сопутствующими той же системе отсчёта, что и старые.

Нетрудно установить следующую эквивалентность:
$$\left( dx^i=0 \Rightarrow dx^{i'} =0 \right) \Leftrightarrow x_{,0}^{i'}=0 \eqno (2,3)$$Поэтому произвольное хронометрическое преобразование имеет вид$$\left\{ {\begin{array}{l}
  x^{\widetilde 0}   = x^{ \widetilde 0}(x^0,x^1,x^2,x^3)  \\
 x^{\widetilde i}   = x^{ \widetilde i}(x^1,x^2,x^3)  \\
 \end{array} }   \right. \eqno (2,4)$$Здесь и всюду ниже мы будем использовать знак тильды для хронометрических преобразований, чтобы отличать их от произвольных допустимых. Так, например, запись
$$dx^{\widetilde i}=x_{,k}^{\widetilde i}dx^k \eqno (2,5)$$устанавливает закон изменения $dx^i$ при хронометрическом преобразовании. Этот закон полностью аналогичен закону изменения $4-$вектора, но действует в пространстве на единицу меньшей размерности. Величины, ведущие себя подобно $(2,5)$, будем называть хронометрически инвариантными векторами, или, короче, хивекторами.

Отметим, что в случае хронометрического преобразования условие $(2,2)$ факторизуется до
$$x_{,0}^{\widetilde 0} \ne 0, \qquad \overline J \equiv \left| {\begin{array}{ccc}
 x_{,1}^{\widetilde 1}  & x_{,2}^{\widetilde 1}   & x_{,3}^{\widetilde 1}   \\
 x_{,1}^{\widetilde 2}  & x_{,2}^{\widetilde 2}   & x_{,3}^{\widetilde 2}   \\
 x_{,1}^{\widetilde 3}  & x_{,2}^{\widetilde 3}   & x_{,3}^{\widetilde 3}   \\
 \end{array} } \right| \ne 0 \eqno (2,6)$$Теперь выясним, что происходит с величинами $(1,3)$ при хронометрическом преобразовании? Для этого введём аналогично определённые величины "с тильдой", относящиеся к новым координатам. В частности, по-прежнему полагаем $\widetilde h >0$. Тогда ковариантные компоненты метрики в новых координатах выразятся через величины "с тильдой" аналогично $(1,7)$:
$$\left\{ {\begin{array}{rcl}
  g_{\widetilde 0 \widetilde 0}  &  = & \widetilde h^2   \\
    g_{ \widetilde 0 \widetilde i}  &  =  & - \widetilde h a_{ \widetilde i} \\
 g_{\widetilde  i \widetilde k}  & = & - \overline{g}_{ 
\widetilde i \widetilde k}  +a_{\widetilde i} a_{\widetilde k}
 \end{array} }   \right. \eqno (2,7)$$Для начала найдём $h^2=g_{00}=x_{,0}^{\widetilde 0} x_{,0}^{\widetilde 0} g_{\widetilde 0 \widetilde 0}=\left( x_{,0}^{\widetilde 0} \; \widetilde h \right)^2 \Rightarrow h=\sigma x_{,0}^{\widetilde 0} \; \widetilde h $, где введено обозначение
$$\sigma \equiv \operatorname{sign}\left(x_{,
0}^{\widetilde 0}\right) = \pm 1 \eqno (2,8)$$Аналогично $- h a_i=g_{0i}=x_{,0}^{\widetilde 0} \left( x_{,i}^{\widetilde 0}g_{\widetilde 0 \widetilde 0}+x_{,i}^{\widetilde k}g_{\widetilde 0 \widetilde k} \right)=\sigma h \left(x_{,i}^{\widetilde 0} \widetilde 
h-x_{,i}^{\widetilde k}a_{\widetilde k} \right) \Rightarrow a_i=\sigma \left( \widetilde a_i -x_{,i}^{\widetilde 0} \widetilde h \right)$, где введено ещё одно сокращение:
$$\widetilde a_i \equiv x_{,i}^{\widetilde k} a_{\widetilde k} \eqno (2,9)$$Теперь, пользуясь тождеством $\sigma^2=1$, перепишем полученные соотношения в виде
$$x_{,0}^{\widetilde 0}= \sigma \dfrac{h}{\widetilde h},  \qquad  x_{,i}^{\widetilde 0}=\dfrac{\widetilde a_i - \sigma a_i}{\widetilde h} \eqno (2,10)$$Наконец, упрощая $- \overline g_{ik}+a_i a_k=g_{ik}=x_{,i}^{\widetilde 0}x_{,k}^{\widetilde 0}g_{\widetilde 0 \widetilde 0}+\left( x_{,i}^{\widetilde 0}x_{,k}^{\widetilde s}+x_{,k}^{\widetilde 0}x_{,i}^{\widetilde s} \right) g_{\widetilde 0 \widetilde s}+x_{,i}^{\widetilde m}x_{,k}^{\widetilde s}g_{\widetilde m \widetilde s}$, приходим к выражению
$$\overline g_{ik}=x_{,i}^{\widetilde m}x_{,k}^{\widetilde s} \overline g_{ \widetilde m \widetilde s}   \eqno (2,11)$$Такую величину естественно назвать хитензором. А соединяя $(2,11)$ с $(2,5)$, получаем ещё и хинвариант (хронометрический инвариант) $\delta \overline l$.

Осталось вычислить величину $\widetilde{\delta \overline \tau} \equiv \widetilde h \; dx^{\widetilde 0} - a_{\widetilde i} \; dx^{\widetilde i}=\widetilde h \left( x_{,0}^{\widetilde 0} dx^0+x_{,i}^{\widetilde 0} dx^i \right) -a_{\widetilde i}x_{,k}^{\widetilde i}dx^k$, которая оказывается равной
$$\widetilde{\delta \overline \tau}= \sigma \delta \overline \tau  \eqno (2,12)$$Как видим, $\delta \overline \tau$, не является хинвариантом, так как меняет знак при "отражении времени".

Задача
Как изменяются величины $\theta_i \equiv \dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right)$ при хронометрическом преобразовании координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение16.09.2023, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12495
Решение задачи составляет часть третьего параграфа, но хотелось бы увидеть его здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение14.01.2024, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12495
На всякий случай, напомню:
Утундрий в сообщении #1583646 писал(а):
Планирую: создавать по теме на пункт и переходить к следующей только после основательного пережёвывания текущей.

Не планирую: вещать в пустоту, как глухарь на току. Не будет отклика, не будет и продолжения.
Под откликом я подразумеваю, собственно, любой отклик. Вопросы, возражения, недоумения и разнообразные пожелания автору. Дело в том, что если я потеряю тетрадь, где подробно прописана добрая половина плана, то хрен я потом всё это восстановлю в том же виде и в той же форме

Так что нельзя ли по-активнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение16.01.2024, 18:44 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
Утундрий в сообщении #1609665 писал(а):
Решение задачи составляет часть третьего параграфа, но хотелось бы увидеть его здесь.

Не могли бы пояснить смысл решения данной задачи? Смысл вашего выражения?

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение16.01.2024, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12495
Возьмите величины $\theta_i \equiv \dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right)$ и примените к ним преобразования $(2,4)$. Результат будет прост.

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение17.01.2024, 13:10 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
Утундрий
Вы не ответили на вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение17.01.2024, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12495
schekn
В таком случае, я не понял смысла вопроса. Вы спросили о каком-то "смысле решения и выражения". Можете сделать вопрос более осмысленным?

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение19.01.2024, 17:22 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
Утундрий в сообщении #1626303 писал(а):
schekn
В таком случае, я не понял смысла вопроса. Вы спросили о каком-то "смысле решения и выражения". Можете сделать вопрос более осмысленным?

Вы ввели некоторое выражение , которое для вашего объяснения применения Хронометрических инвариантов , является важным. Я не пойму важность. Пока это абстракция.

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение19.01.2024, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12495
schekn в сообщении #1626512 писал(а):
которое для вашего объяснения применения Хронометрических инвариантов , является важным.
Это домыслы.
schekn в сообщении #1626512 писал(а):
Я не пойму важность.
Это не мои проблемы.
schekn в сообщении #1626512 писал(а):
это абстракция.
Разумеется. Как и любая математическая модель реальности.

Вы просто не хотите напрягать мозг. Ваше право.

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение02.02.2024, 09:47 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
Утундрий в сообщении #1605362 писал(а):
Теперь выясним, что происходит с величинами $(1,3)$ при хронометрическом преобразовании?
Величины $(1,3)$ видимо были определены в первой главе? Из текста второй главы можно предположить, что
$$
h = \sqrt{g_{00}}, \qquad a_i = - \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}.
$$Тогда$$
\theta_{i} = \frac{1}{\sqrt{g_{00}}}
\left( \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left( \sqrt{g_{00}} \right) 
-  \frac{\partial}{\partial x^{0}} \left( \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}} \right) \right).
$$
Относительно замен $x^{i} \to \tilde{x}^{i}(x)$ это $3$-вектор.

А относительно замены $x^{0}$ похоже получается что-то нетривиальное особенно если $$
\frac{ \partial \tilde{x}^{0} }{ \partial x^{0} } \ne \left| \frac{ \partial \tilde{x}^{0} }{ \partial x^{0} } \right|
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение02.02.2024, 18:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12495
SergeyGubanov в сообщении #1628075 писал(а):
Величины $(1,3)$ видимо были определены в первой главе?
Да, только не главе, а параграфе.
SergeyGubanov в сообщении #1628075 писал(а):
относительно замены $x^{0}$ похоже получается что-то нетривиальное особенно если $$
\frac{ \partial \tilde{x}^{0} }{ \partial x^{0} } \ne \left| \frac{ \partial \tilde{x}^{0} }{ \partial x^{0} } \right|
$$
Хивектор там получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение07.02.2024, 20:59 
Заслуженный участник


29/09/14
1241
Увы, в этой науке я не "коллега"; просто попробовал тупо применить дифференцирования к уже имеющимся выше формулам:

(попытка стронуться с места)

Предполагая, что функции $h$ и $a_i$ зависят от $x^{\widetilde{\mu}}(x^0,x^1,x^2,x^3)}$ записываю их производные по $x^i$ и по $x^0$ согласно правилу дифференцирования сложной функции: $$\theta_i=\frac{1}{h}(h_{,i} + a_{i,0})=\frac{1}{h}(x^{\widetilde{0}}_{,i}h_{,\widetilde{0}}+ x^{\widetilde{k}}_{,i}h_{,\widetilde{k}}+ x^{\widetilde{0}}_{,0}a_{i,\widetilde{0}}+ x^{\widetilde{k}}_{,0}a_{i,\widetilde{k}}).$$
Последнее слагаемое равно нулю, так как $x^{\widetilde{k}}_{,0}=0$ при хронометрических преобразованиях. Цель дальнейших выкладок - избавиться от индекса без тильды в $a_{i,\widetilde{k}}$ и упростить то, что получится, насколько удастся. Дифференцирую по $x^{\widetilde{0}}$ выражение $a_i=\sigma x^{\widetilde{k}}_{,i} a_{\widetilde{k}} - \sigma x^{\widetilde{0}}_{,i} \widetilde{h},$ имеющееся перед (2.9): $$a_{i,\widetilde{0}}=\sigma x^{\widetilde{k}}_{,i} a_{\widetilde{k},\widetilde{0}} - \sigma x^{\widetilde{0}}_{,i} \widetilde{h}_{,\widetilde{0}}.$$
Вторые производные от координат посчитал здесь (и дальше тоже так) равными нулю, потому что последовательность дифференцирований можно менять, и тогда получаются производные от независимых переменных $x^{\widetilde{k}}$ по независимой переменной $x^{\widetilde{0}},$ либо производная от константы $x^{\widetilde{0}}_{,\widetilde{0}} =1.$

Согласно (2.10) умножив $a_{i,\widetilde{0}}$ на $x^{\widetilde{0}}_{,0}=\sigma (h/\widetilde{h}),$ учтём, что $\sigma^2=1.$ Тогда: $$\theta_i=\frac{1}{h}(x^{\widetilde{0}}_{,i}(h_{,\widetilde{0}}-(h/\widetilde{h})\widetilde{h}_{,\widetilde{0}})+ x^{\widetilde{k}}_{,i}h_{,\widetilde{k}}+ (h/\widetilde{h})x^{\widetilde{k}}_{,i}a_{\widetilde{k},\widetilde{0}} ).$$
С помощью равенства (2.10), т.е. $h=\sigma x^{\widetilde{0}}_{,0}\widetilde{h},$ дифференцируя это равенство по $x^{\widetilde{0}}$ или по $x^{\widetilde{k}},$ можно видеть, что $$(h_{,\widetilde{0}}-(h/\widetilde{h})\widetilde{h}_{,\widetilde{0}})=0,$$ и что $$\frac{1}{h}h_{,\widetilde{k}}=\frac{1}{\widetilde{h}}\widetilde{h}_{,\widetilde{k}}.$$

В итоге, если определить величины $\theta_{\widetilde{k}}$ равенством $$\theta_{\widetilde{k}}=\frac{1}{\widetilde{h}}(\widetilde{h}_{,\widetilde{k}} + a_{\widetilde{k},\widetilde{0}})\,,$$
то получилась следующая формула преобразования: $$\theta_i=x^{\widetilde{k}}_{,i}\,\theta_{\widetilde{k}}.$$
Если бред, то прошу автора темы меня извинить (я написал всё без понимания физ. смысла этих $\theta_i,$ просто чтобы тему хоть как-то оживить :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение08.02.2024, 10:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12495
Cos(x-pi/2) в сообщении #1628774 писал(а):
Если бред, то прошу автора темы меня извинить (я написал всё без понимания физ. смысла этих $\theta_i,$ просто чтобы тему хоть как-то оживить :-)
Так и надо было. Моменты, когда в тему просочится т.н. "физический смысл", я буду отмечать особо. Спасибо за интерес к теме, ответ совпадает с авторским.

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение08.03.2024, 01:32 


20/12/22

38

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1628829 писал(а):
Так и надо было. Моменты, когда в тему просочится т.н. "физический смысл", я буду отмечать особо. Спасибо за интерес к теме, ответ совпадает с авторским.

:oops: Весело решать задачу на физическом форуме без ее физического смысла :D
Для меня матетематика не так важна как ее физический смысл

 Профиль  
                  
 
 Re: ХРИН 02 Хронометрические преобразования
Сообщение08.03.2024, 04:25 
Заслуженный участник


29/09/14
1241
Утундрий, хотелось бы увидеть продолжение; оно будет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group