Олимпиадная задача по геометрии

[umarus]

Никак не могу подступиться.
На сторонах треугольника $ABC$ построены произвольные прямоугольники $ACDE, BCFG, ABHI$. Вне $ABHI$, по другую сторону от треугольника $ABC$ взята точка $S$, так что $\angle{DAC}=\angle{HIS}$ и $angle\{CBF} = \angle{IHS}$. Доказать что $CS, IF, DH$ пересекаются в одной точке.



-- Сб авг 05, 2023 09:52:41 --

Кое-какие идеи:
Опустить высоту с $S$ на $IH$. Получаем подобные треугольники, потом как-нибудь применить теорему Чевы.

[Null]

Не похоже на правду. Если увеличить высоту $AI$ прямоугольника $ABHI$, то
1. точка $S$ будет двигаться по прямой параллельной $AI$
2.Прямая $CS$ будет меняться или она - высота $ABC$, 2рой вариант не гарантирован - откидываем.
3.Ещё остался вариант что точка пересечения прямых - это $C$, но это возможно только при нулевой толщине боковых прямоугольников.

[umarus]

Null в сообщении #1604000 писал(а):

Не похоже на правду. Если увеличить высоту $AI$ прямоугольника $ABHI$, то
1. точка $S$ будет двигаться по прямой параллельной $AI$
2.Прямая $CS$ будет меняться или она - высота $ABC$, 2рой вариант не гарантирован - откидываем.
3.Ещё остался вариант что точка пересечения прямых - это $C$, но это возможно только при нулевой толщине боковых прямоугольников.

Вроде логично, спасибо.

[umarus]

Null в сообщении #1604000 писал(а):

Не похоже на правду. Если увеличить высоту $AI$ прямоугольника $ABHI$, то
1. точка $S$ будет двигаться по прямой параллельной $AI$
2.Прямая $CS$ будет меняться или она - высота $ABC$, 2рой вариант не гарантирован - откидываем.
3.Ещё остался вариант что точка пересечения прямых - это $C$, но это возможно только при нулевой толщине боковых прямоугольников.

Извиняюсь, там пересечение $CS, IF, HD$, а не $CS, AF, BD$. И при движении $S$ , $IF$и $HD$ тоже будут двигаться. Вроде условие правильное тогда.

-- Сб авг 05, 2023 12:05:12 --

[Null]

Это правда. В координатах $A(0;0)B(a;0)C(b,c)$ имеем ($x=\tg(\angle CBF)$; $y=\tg(\angle CAD)$)
Отрезки $I(0;-h)F(b+cx;c+ax-bx)$, $H(a;-h)D(b-cy;c+by)$ и $S(\frac{ax}{x+y};-h-\frac{axy}{x+y})C(b;c)$ задают прямые $x_1(-ax+bx-c-h)+y_1(b+cx)=-bh-chx$,
$x_1(by+c+h)+y_1(a-b+cy)=aby+ac+dh-chy$
и $x_1(axy+cx+cy+hx+hy)+y_1(ax-bx-by)=abxy+acx+bhx+bhy$ соотвественно. Умножив 1ое уравнение на $-y$, а второе на $x$ и сложив получим 3ее - значит прямые пересекаются в одной точке.

[Евгений Машеров]

Может, какое-то ограничение на прямоугольники? Например, AE, CF, BH равны. А то похоже, что можно менять что-то из них, двигая точку пересечения с CS и сделать, чтобы две точки пересечения не совпадали...

[umarus]

Евгений Машеров в сообщении #1604041 писал(а):

Может, какое-то ограничение на прямоугольники? Например, AE, CF, BH равны. А то похоже, что можно менять что-то из них, двигая точку пересечения с CS и сделать, чтобы две точки пересечения не совпадали...

вроде нет.

-- Сб авг 05, 2023 22:58:53 --

Null в сообщении #1604040 писал(а):

Это правда. В координатах $A(0;0)B(a;0)C(b,c)$ имеем ($x=\tg(\angle CBF)$; $y=\tg(\angle CAD)$)
Отрезки $I(0;-h)F(b+cx;c+ax-bx)$, $H(a;-h)D(b-cy;c+by)$ и $S(\frac{ax}{x+y};-h-\frac{axy}{x+y})C(b;c)$ задают прямые $x_1(-ax+bx-c-h)+y_1(b+cx)=-bh-chx$,
$x_1(by+c+h)+y_1(a-b+cy)=aby+ac+dh-chy$
и $x_1(axy+cx+cy+hx+hy)+y_1(ax-bx-by)=abxy+acx+bhx+bhy$ соотвественно. Умножив 1ое уравнение на $-y$, а второе на $x$ и сложив получим 3ее - значит прямые пересекаются в одной точке.

Спасибо, попробую сам тоже. Может вектора тоже пойдут.

[umarus]

Null в сообщении #1604040 писал(а):

Это правда. В координатах $A(0;0)B(a;0)C(b,c)$ имеем ($x=\tg(\angle CBF)$; $y=\tg(\angle CAD)$)
Отрезки $I(0;-h)F(b+cx;c+ax-bx)$, $H(a;-h)D(b-cy;c+by)$ и $S(\frac{ax}{x+y};-h-\frac{axy}{x+y})C(b;c)$ задают прямые $x_1(-ax+bx-c-h)+y_1(b+cx)=-bh-chx$,
$x_1(by+c+h)+y_1(a-b+cy)=aby+ac+dh-chy$
и $x_1(axy+cx+cy+hx+hy)+y_1(ax-bx-by)=abxy+acx+bhx+bhy$ соотвественно. Умножив 1ое уравнение на $-y$, а второе на $x$ и сложив получим 3ее - значит прямые пересекаются в одной точке.

Никак не могу получить такие координаты $F$ и $D$. Есть какой-то изящный метод?

-- Вс авг 06, 2023 01:02:52 --

После применения суммы тангенсов и решив систему, смог получить координаты $F$ и $D$. А есть ли короткий способ?

[umarus]

Ах, для $F$ и $D$, все намного проще если воспользоваться поворотом векторов. Спасибо!