Квантовая теорема о возврате

[pppppppo_98]

Даже не знаю в какой раздел форума поставить эту тему - физику или математику. Модераторы поправят

Итак статья из вики https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C ... ce_theorem. Внизу на пол страницы приводится доказательство этой теорему для квантового случая - неожиданно простое. Остаемся в квантовой механике а конфигурационное пространство уменьшаем до конечномерного размерности $d$. И теперь собственно вопрос - это теорема существования, а не конструктивистки построенное доказательство с оценкой времени . Тык вот если задана точность приближение $\epsilon$ (fidelity), то какая оценка времени возврата в бесконечно близкое состояние. Очевидно, что задачу можно упростить (в чисто математическую). Итак имеется набор частот гармоник $(d+1)$-размерного осцилятора $a_0=0, a_1,\dots, a_d$. Имеется отношение $\mathbf{R(x,y)}=\forall i\in\{1,\dots,d\}\exists k^i \in \mathcal{Z} y^i-x^i= 2\pi a^i k^i$, которое переводит d мерное евклидово пространство в тор $\mathcal{R}^d\rightarrow\mathcal{T}^d = \mathcal{R}^d/\mathbf{R}$. Имеется прямая $\mathcal{L}_1$ компоненты касательного вектора которой, не соразмерны образующим тора $a_i$ (множество образующих тора, и компонент касательного вектора прямой образуют независимую систему относительно целых чисел). Ясень пень , что вложенная в тор кривая $\mathcal{L}_2=\mathcal{L}_1/\mathbf{R}$ плотно покроет тор - то есть для любой бесконечно малой окрестности токи кривой обязательно найдется момент времени в будущем, когда эта кривая вернется в заданную окрестность. И вот вопрос состоит а какое же это время (если хотите длина кривой ли расстояние по нулевой образующей , которую я выкинул из рассмотрения)...

Если перейти от квантовой механики к классической - то есть условно период возникновения биений или парада планет

Соответственно хотелось бы спросить может кто знает нет ли оценки минимального времени возврата $T(\epsilon, d; \{a_1,\dots a_d\})$ в зависимости от близости $\epsilon$ и размерности пространства параметров тора

[Ende]

Поправил наиболее очевидные опечатки в формулах. Формулу нужно заключать в одинарные знаки доллара, а не в двойные. В противном случае формула выравнивается по центру.