Идеалы в алгебре производящих ф-ий Дирихле

[Kuga]

Задача 7.12 из книги Ландо "Введение в дискретную математику".

Производящая функция Дирихле определяется в книге как формальный ряд

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}. $$

Насколько я понял, $a_n$ здесь произвольная последовательность, не зависящая от $s$.

Эти функции образуют алгебру $D$. Все элементы алгебры обратимы.

В задаче 7.12 требуется описать все идеалы в этой алгебре. В ответе написано, что все идеалы главные и имеют вид $\frac{1}{N^s}D$, $N\in \mathbb{N}$. Мне непонятно: почему все идеалы главные?

Насколько я понял, алгебра $D$ изоморфна алгебре формальных степенных рядов от счетного числа независимых коммутирующих переменных (параграф 7.3). Обозначим эту алгебру $A$. Пусть $x,y$ - какие-то две переменные в этой алгебре $A$.

Тогда известно, что идеал $xA+yA$ не является главным.

Тогда получается что есть две изоморфные алгебры $D$ и $A$, причем все идеалы в $D$ главные, а в $A$ не все идеалы главные? Где-то ошибка в рассуждении, но не могу понять, где...

[Padawan]

Kuga в сообщении #1603521 писал(а):

В ответе написано, что все идеалы главные и имеют вид $\frac{1}{N^s}D$, $N\in \mathbb{N}$.

Хм... Рассмотрим множество формальных рядов Дирихле $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$,
у которых $a_1=0$. Это идеал. Но он явно не имеет вид $\frac{1}{N^s}D$, $N\in \mathbb{N}$.
И я вроде бы доказал, что он не главный.

[Kuga]

На всякий случай приведу ответ в точности как в книге, чтобы не было никаких недоразумений (может в начальном сообщении я неправильно что-то сформулировал):

Цитата:

Все идеалы в алгебре функций Дирихле главные. Они нумеруются натуральными числами. Идеал $I_N$ состоит из рядов Дирихле

$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s} $$

в которых отличны от нуля лишь коэффициенты $a_n$ для индексов $n$, делящихся на $N$.

[Null]

Kuga в сообщении #1603521 писал(а):

Все элементы алгебры обратимы.

Вот это неправда.

[Padawan]

Kuga
Да, в первом посте Вы правильно описали то, что написано в ответе к задаче. Короче, наверное утверждение предлагают доказать. Есть не главные идеалы. И не все идеалы имеют вид, как в ответе.