|
Преамбула
Формально-корректные доказательства в математике нередко могут входить в противоречие с интуицией, что свидетельствует лишь о том, что интуиция может обманывать. Так? Не совсем. Ведь выбранная аксиоматика и правила формального вывода изначально все равно были выбраны так, чтобы соответствовать какой-то исходной интуиции и здравому смыслу, что бы это ни значило. Еще система аксиом не должна приводить к противоречиями, однако все равно остается широкий выбор для аксиоматик на любой вкус.
Классическая формальная теория множеств вида ZFC, условно говоря, включает набор аксиом двух видов:
1) Интуитивно очевидные аксиомы для конечных множеств, которые можно выполняются на умозрительных примерах вроде множеств яблок и бананов, как в детских задачках.
2) Аксиомы-расширения, включая существование бесконечных множеств. Эксперемент с бесконечным множеством яблок, конечно, не проведешь, но в целом если не придерживаться финитизма, то можно согласиться с существованием бесконечного множества. Плюс в подарок идут все аксиомы, которые были сформулированы как очевидные на основе умознительных примеров на основе конечных множеств.
Собственно здесь и начинается интересный момент. Если бесконечное множество нельзя физически пощупать, то как можно с легкой уверенностью распространять на него конечные аксиомы? Аксиоме выбора в этом смысле повезло меньше, и она часто стоит особняком, поскольку она тривиальная и излишняя для конечных множеств, но не очевидная для бесконечных.
Но ведь можно модифицировать и другие аксиомы, например запретить подстановки для бесконечных множеств или что-то еще - если нет умозрительного примера, как это применяется к бесконечному множеству, то с чего бы вообще провозглашать, что это верно.
Суть вопроса
Включая, выключая или модифицируя формулировки исходно конечных аксиом для бесконечных множеств, можно получать различные версии формальной теории множеств
В традиционной теории множеств утверждение, что все бесконечные множества имеют одинаковую мощность, приводят к противоречию. Но ведь можно поотключать некоторые аксиомы или модифицировать их для бесконечных множеств так, чтобы противоречие не выводилось.
Собственно вопрос - есть ли какие-то известные наработки в этой области? То есть такой теории множеств, которая:
1) Сохраняет для конечных множеств большинство аксиом и их ожидаемых следствий для умозрительных примеров на условных бананах и яблоках.
2) Обеспечивает одинаковую мощность для всех бесконечных множеств. Любое экзотическое поведение бесконечных множеств допустимо, лишь бы не приводило к противоречию
|
