Компактность замкн. подмн-ва комп. мн-ва в *-слабой топологи

[Kuga]

В Дополнении к книге КФ, параграф 4, пункт 1-2 исследуется множество $\mathcal{M}$ непр. мультипликативных функционалов заданных на коммутативной банаховой алгебре $X$ с единицей. Это множество оказывается подмножеством единичной сферы $X^*$. Доказывается, что $\mathcal{M}$ замкнуто в *-слабой топологии.

Далее, приводится факт, доказанный в основном тексте:

Единичный шар в $X^*$, сопряженного к банахову пространству, компактен в *-слабой топологии.

Пока в принципе все было понятно. Непонятно следующее утверждение:

Из вышепривиденных фактов следует, что $\mathcal{M}$ компактно.

Пож-ста, кто-нибудь может это объяснить, как это получить, желательно без сложных теорем?

Правильно ли я понимаю, что это утверждение можно получить из следующего рассуждения:

Известно, что замкнутое подмножество компактного множества компактно в метрическом случае. Но *-слабая топология на единичном шаре метризуема (глава IV, параграф 3, теорема 4). Единичный шар компактен в *-слабой топологии. Отсюда получается, что замкнутое подмножество единичного шара компактно в *-слабой топологии. Остается заметить, что $\mathcal{M}$ замкнутое подмножество единичного шара, откуда сразу следует компактность $\mathcal{M}$.

Есть ли ошибки в этом рассуждении?

[mihaild]

Метризуемость не нужна: в любой топологии замкнутое подмножество компакта компактно. А так всё правильно.