Логарифм. неравенство

[Xo4y3HaTb]

Подскажите, пожалуйста, где в моём решении ошибка? Задача: $\log_x(x^2+3/2)\leqslant4\log_{x^2+3/2}x$ Решение. ОДЗ: $x>0, x\ne1. \log_x(x^2+3/2)-4/\log_x(x^2+3/2)\leqslant0$ Приведя к общему знаменателю получу в числителе разность квадратов, раскладываю на множители, получаю: ${(\log_x(x^2+3/2)-2)(\log_x(x^2+3/2)+2)}/\log_x(x^2+3/2)\leqslant0$. Первый множитель в числителе всегда положительный, знаменатель тоже. Тогда их отбрасываю и потенцирую 2й множитель, получаю в итоге неравенство: $(x-1/\sqrt{2})(x+1/\sqrt{2})\leqslant0$ Ответ: $x\in(0,1/\sqrt{2}]$. Но правильный ответ другой: $x\in[1/\sqrt{2},1)$

[svv]

Xo4y3HaTb в сообщении #1602008 писал(а):

Ответ: $x\in(0,1/\sqrt{2}]$. Но правильный ответ другой: $x\in[1/\sqrt{2},1)$

Допустим, Вы десять раз всё перепроверили, а ошибку не нашли. Что делать?
Согласно Вашему ответу, $x=\frac 1 2$ удовлетворяет неравенству, а согласно "правильному ответу" — нет. С помощью продвинутого калькулятора (WolframAlpha, например) можно узнать, кто ошибается, и если ошибка у Вас, даже найти, где она возникла — просто подставляйте $x=\frac 1 2$ в каждое неравенство, полученное в процессе решения.

Начнём с исходного неравенства.
Запрос:
Log[0.5, 0.5^2+3/2]<=4*Log[0.5^2+3/2, 0.5]
Результат:

[Евгений Машеров]

Xo4y3HaTb в сообщении #1602008 писал(а):

Первый множитель в числителе всегда положительный, знаменатель тоже.

Точно?

[TOTAL]

Xo4y3HaTb в сообщении #1602008 писал(а):

Задача: $\log_x(x^2+3/2)\leqslant4\log_{x^2+3/2}x$

Записали бы сначала поудобнее $\displaystyle \left( \log_{x^2+3/2}x^2 \right)^2 \le 1$

[Xo4y3HaTb]

svv в сообщении #1602013 писал(а):

можно узнать, кто ошибается, и если ошибка у Вас, даже найти, где она возникла — просто подставляйте $x=\frac 1 2$ в каждое неравенство, полученное в процессе решения.

Ошибка то точно у меня. Судя по всему я неправильно отбросил первый множитель и знаменатель, полагая, что они всегда положительные.

Евгений Машеров в сообщении #1602029 писал(а):

Точно?

Нет. Увидел, что если $x<1$, то знаки могут быт отрицательные. Буду решать по другому $\frac{(\log_x(x^2+3/2)-2)(\log_x(x^2+3/2)+2)}{\log_x(x^2+3/2)}\leqslant0$ $\Leftrightarrow\frac{\frac{\log_2(1+3/{2x^2})}{\log_2x}(\log_x(x^2+3/2)+2)}{\frac{\log_2(x^2+3/2)}{\log_2x}}\leqslant0$. $\Leftrightarrow \frac{\log_2(1+3/{2x^2})(\log_x(x^2+3/2)+2)}{\log_2(x^2+3/2)}\leqslant0 $ Первый множитель в числителе всегда положительный т.к. и основание и аргумент логарифма больше 1, тоже самое можно сказать и про знаменатель. Тогда их отбрасываю и решаю неравенство: $(\log_x(x^2+3/2)+2)\leqslant0$, что равносильно $(x-\frac{1}{\sqrt{2}})(x+\frac{1}{\sqrt{2}})\leqslant0$ т.е. опять получаю неверное решение

[svv]

Xo4y3HaTb в сообщении #1602076 писал(а):

Ошибка то точно у меня. Судя по всему

Так Вы технологию поняли? Подставляете последовательно $x=0.5$ в неравенства, полученные при выводе. Где перестало "не подходить" и стало ошибочно "подходить", там и ошиблись.

[Xo4y3HaTb]

svv в сообщении #1602081 писал(а):

Так Вы технологию поняли? Подставляете последовательно $x=0.5$ в неравенства, полученные при выводе. Где перестало "не подходить" и стало ошибочно "подходить", там и ошиблись.

Да, метод понял, и ошибку нашёл, она в самом конце, знак не поменял при $x<1$... Извиняюсь!
Всем спасибо за помощь!

[мат-ламер]

Небольшой совет. Тут в решении возникли длинющие формулы с логарифмами, которые не так просто и набрать. Проще в самом начале ввести переменную $t$ ( с очевидным значением). Будет меньше шансов допустить ошибку.

[Xo4y3HaTb]

мат-ламер в сообщении #1602089 писал(а):

Небольшой совет. Тут в решении возникли длинющие формулы с логарифмами, которые не так просто и набрать. Проще в самом начале ввести переменную $t$ ( с очевидным значением). Будет меньше шансов допустить ошибку.

Согласен! Кстати, даже в решении так и делалось. Но я таким образом ещё руку в ТЕХе набиваю, а то по часу пишу каждое сообщение..