Устойчивое равновесие в центре планеты.

[EUgeneUS]

Думаю, это очень простой вопрос, "на понимание".
Но мне показался забавным.

Вопрос относится сразу к двум задачам:

1. Твердая планета.
Пробурили её насквозь через центр и в получившуюся шахту опустили пробное тело.
Под "состоянием устойчивого равновесия" в вопросе понимается устойчивое равновесие без опоры на что-либо.

2. Жидкая планета.
В жидкую планету поместили пробное тело, у которого плотность больше, чем плотность планеты в любой точке.

(Оффтоп)

И главное. Как это всё согласуется с теоремой Ирншоу

-- 10.07.2023, 18:28 --

UPD. Для определенности считать, что кроме планеты и пробного тела, больше ничего нет.

[Утундрий]

Обе ситуации какие-то слишком уж сферические в вакууме, а во втором случае ответ ещё и зависит от числа миллиардеров внутри пробного тела.

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1600499 писал(а):

а во втором случае ответ ещё и зависит от числа миллиардеров внутри пробного тела.

см.

EUgeneUS в сообщении #1600494 писал(а):

UPD. Для определенности считать, что кроме планеты и пробного тела, больше ничего нет.

[мат-ламер]

Утундрий в сообщении #1600499 писал(а):

Обе ситуации какие-то слишком уж сферические

Первая ситуация не совсем сферическая:

EUgeneUS в сообщении #1600494 писал(а):

Пробурили её насквозь через центр и в получившуюся шахту

То есть имеется некоторое отклонение от сферической симметрии. Иначе тут нечего было бы решать. Или я не так понял условие.

-- Пн июл 10, 2023 21:17:48 --

мат-ламер в сообщении #1600507 писал(а):

То есть имеется некоторое отклонение от сферической симметрии. Иначе тут нечего было бы решать.

Для определённости считаем, что планета не вращается.
Я предположу, что в первой задаче, если рассматривается абсолютно идеальный сферически симметричный случай и вокруг тела создана пустая шаровая полость и тело отклонить от центра, при этом скорость тела будет нулевая, то тело так и останется неподвижным. То есть будет ситуация устойчивого равновесия. Если ситуация не абсолютно идеальная, то устойчивости не будет. Думаю, что в условии как раз имеется в виду этот случай. Иначе зачем рассказывать про шахту.
Во второй задаче предположу, что будет устойчивое равновесие, так как функция потенциальной энергии будет строго выпукла и её минимум будет, когда пробное тело будет в центре планеты. И тут никакой шахты, которая нарушает сферическую симметрию, нет.

[EUgeneUS]

Удивительно. В голосовании никто не отметил правильный ответ
Близок был мат-ламер, но перепутал безразличное равновесие и устойчивое.

В случае твердой планеты, имеем фиксированное распределение зарядов (кроме пробного тела). Теорема Ирншоу применима.
А значит возможно неустойчивое равновесие или безразличное равновесие. А устойчивое равновесие невозможно.
Если шахту не закупоривать, то в центре планеты тело будет в состоянии неустойчивого равновесия. И его прижмет к стенке шахты.

В случае жидкой планеты... Никого же не удивляет, что твердое железное ядро находится в равновесии в центре Земли, а окружено оно жидкой магмой. Или кого-то удивляет?
Конечно, пробное тело утонет в центр, и там будет в равновесии.
А как же т. Ирншоу? А никак. В этом случае движение пробного тела обязательно приводит к перераспределению зарядов и т. Ирншоу не применима.

[Red_Herring]

EUgeneUS в сообщении #1600557 писал(а):

В случае твердой планеты, имеем фиксированное распределение зарядов (кроме пробного тела). Теорема Ирншоу применима.

Теорема Ирншоу говорит о системе точечных зарядов (или масс), но масса планеты не точечная и не может быть рассмотрена как точечная, кроме того случая, когда пробник вне планеты (причём в этом случае мы пренебрегаем тем, что из планеты "вынута" шахта. Если же рассмотреть пробник внутри шахты, и пренебречь вынутой массой (предположим, что шахта бесконечно узкая, а пробник точечный), то положение будет устойчивым. Более того, если плотность планеты равномерная, то сила тяжести в шахте пропорциональна расстоянию до центра и колебания пробника будут гармоническими.

[EUgeneUS]

Red_Herring в сообщении #1600565 писал(а):

Теорема Ирншоу говорит о системе точечных зарядов (или масс), но масса планеты не точечная и не может быть рассмотрена как точечная, кроме того случая, когда пробник вне планеты (причём в этом случае мы пренебрегаем тем, что из планеты "вынута" шахта.

Цитата:

Теорема верна (формулировка при этом должна быть немного модифицирована[11]) для жёстких систем точечных зарядов и фиксированно[12] заряженных твёрдых (абсолютно твёрдых) тел (непроницаемых друг для друга — в каком-то из смыслов, аналогичных обозначенным в формулировке для точечных зарядов — то есть, по крайней мере, заряженные области твёрдых тел).

что мы и имеем в случае твердой планеты с шахтой.

Red_Herring в сообщении #1600565 писал(а):

Если же рассмотреть пробник внутри шахты, и пренебречь вынутой массой (предположим, что шахта бесконечно узкая, а пробник точечный), то положение будет устойчивым.

Тут меня гложут смутные сомнения, что такое пренебрежение производится корректно.
Вариант 1: в центре есть сферическая полость, радиуса много больше радиуса шахты и размеров пробника. Тут можно сказать, что поле в этой полости будет ноль ("пренережимо мало") и равновесие будет безразличным, но не устойчивым.

Вариант 2. Цилиндрическая шахта и пробник меньшего размера, чем шахта. Тут диаметром шахты, ИМХО, пренебрегать нельзя. Так как он больше размеров пробника.

Пусть в Земле (радиус 6400 километров), пробурили сквозь центр шахту радиусом 1 метр.
В шахту в центр Земли поместили пробное тело радиусом 0.5 метра и массой пусть 50 килограмм.
Как Вы считаете: будет ли это тело находиться в состоянии устойчивого равновесия, не касаясь стенок шахты, или его таки прижмет к стенке?

[Red_Herring]

EUgeneUS в сообщении #1600567 писал(а):

Вариант 1: в центре есть сферическая полость, радиуса много больше радиуса шахты и размеров пробника. Тут можно сказать, что поле в этой полости будет ноль ("пренережимо мало") и равновесие будет безразличным, но не устойчивым.

Вариант 2. Цилиндрическая шахта и пробник меньшего размера, чем шахта. Тут диаметром шахты, ИМХО, пренебрегать нельзя. Так как он больше размеров пробника.

Если в центре есть сферическая полость и мы пренебрегаем диаметром шахты, то положение равновесия будет безразличным. А вот если не пренебрегаем, то на пробник будет действовать "антигравитация" от вынутого материала, т.е. положение будет неустойчивым. Это покрывает оба варианта. Да, пробник прижмёт к стенке "антигравитацией". Но эта "антигравитация" будет настолько слаба, что займет это очень долгое время

[EUgeneUS]

Red_Herring в сообщении #1600576 писал(а):

Но эта "антигравитация" будет настолько слаба, что займет это очень долгое время

Эта "антигравитация" будет по порядку величины такой же, как и возвращающая сила вдоль оси шахты (при сравнимых перемещениях). Но да, вблизи центра будет слабой, по сравнению с силой на поверхности.

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1600576 писал(а):

А вот если не пренебрегаем, то на пробник будет действовать "антигравитация" от вынутого материала, т.е. положение будет неустойчивым.

Я думаю, что если мы найдём внутри полости точку равновесия, то в этой точке не будет ни гравитации, ни антигравитации. А будет невесомость. А вот в любой точке вблизи точки равновесия с вероятностью единица будет какое-то гравитационное поле. И силовые лини этого поля не могут пересекаться в точке равновесия. Значит они ведут на границу полости. (Хотя пробное тело не будет двигаться по силовым линиям, но в всё же). И равновесие тут будет неустойчиво. (Хотя этот факт возможно нуждается в строгом доказательстве, но интуиция намекает на его справедливость).

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1600635 писал(а):

Я думаю, что если мы найдём внутри полости точку равновесия, то в этой точке не будет ни гравитации, ни антигравитации.

"Антигравитация", FGJ, выше употреблялась в кавычках. Смысл её такой.
1. Можно вместо гравитационного взаимодействия рассмотреть электростатическое. То есть равномерно заряженный шар с шахтой и пробный заряд противоположного знака - будет тоже самое.
2. В этом случае, конфигурацию можно представить суммой следующих распределенных зарядов:
а) Равномерно заряженный шар с некой сферической полостью в центре, диаметром как шахта.
б) Два заряженных цилиндра в форме шахты. Плотность заряда, как у шара, а знак противоположный.
3. Если вернуться к гравитации и массам, то пункт 2б будет некой "антигравитирующей" массой.

Ничего необычного, просто уловка для упрощения понимания и рассуждений.

мат-ламер в сообщении #1600635 писал(а):

Хотя этот факт возможно нуждается в строгом доказательстве, но интуиция намекает на его справедливость

Строгое доказательство сего факта называется "теорема Ирншоу".

[Anton_Peplov]

(Геология)

EUgeneUS в сообщении #1600557 писал(а):

Никого же не удивляет, что твердое железное ядро находится в равновесии в центре Земли, а окружено оно жидкой магмой.

Это неверное утверждение.
Во-первых, мантийное вещество это не магма. Магма - это продукт плавления мантийного вещества (и в меньшей степени - вещества коры).
Во-вторых, мантийное вещество проблематично назвать жидкостью. Оно настолько вязкое, что скорее его нужно считать твердым. Текучесть ненулевая, но скорость мантийных потоков - миллиметры-сантиметры в год. Бить по нему кулаком не советую
Магма, кстати, тоже не совсем жидкость. Это смесь жидкого расплава, газов и твердых кристаллов. Ее можно сравнить с газированной манной кашей. Текучесть у магмы в целом выше, чем у мантийного вещества, но варьируется в очень широких пределах. Это видно даже по вулканической лаве (магме, излившейся на поверхность и потерявшей большую часть газов): одни лавы текут как вода, а другие вообще не текут, а выжимаются из кратера в виде купола.

Почему в некоторых точках мантия плавится с образованием магмы - отдельный вопрос. Три основных механизма:
1. Понижение температуры плавления мантии в зонах субдукции. Условия на границе мантии и коры – 1350 градусов и 10–20 кбар. Обычное мантийное вещество в таких условиях не плавится. Но оно начинает плавиться при добавлении находящейся под высоким давлением воды, которой насыщены породы погружающейся в мантию Тихоокеанской литосферной плиты. Поэтому к зонам субдукции и приурочено Тихоокеанское огненное кольцо, где сосредоточено 80% действующих вулканов планеты.
2. Подъем мантийного вещества в срединно-океанических хребтах. Большие объемы мантийного вещества поднимаются с глубин 450–600 километров и начинают частично плавиться из-за перепада давления.
3. Нагрев верхней мантии плюмом. Плюм – это тонкая струйка вещества, которая поднимается с очень больших глубин, даже от границы ядра и мантии (2900 километров). Естественно, это вещество горячее верхней мантии. Поэтому вещество вокруг плюма плавится этим дополнительным теплом, и образуется магма. Мантийные плюмы образуют отдельные горячие точки вдали как от срединно-океанических хребтов, так и от зон субдукции. Классический пример – Гавайи. Литосферная плита движется относительно плюма, а с ней и магматический очаг. Старый магматический очаг, съехавший с плюма, застывает, а над плюмом образуется новый. Плиты движутся со скоростью сантиметров в год, так что очаги живут довольно долго по историческим меркам.

Подробнее о магме см. в лекциях П. Плечова. Кратко: https://postnauka.ru/video/72331 Детально: https://www.youtube.com/watch?v=61eXMWPhfL8

[DimaM]

(Геология)

Anton_Peplov в сообщении #1600653 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1600557 писал(а):

Никого же не удивляет, что твердое железное ядро находится в равновесии в центре Земли, а окружено оно жидкой магмой.

Это неверное утверждение.
Во-первых, мантийное вещество это не магма. Магма - это продукт плавления мантийного вещества (и в меньшей степени - вещества коры).

Так-то твердое ядро Земли окружено жидким ядром. Мантия начинается уже дальше.

[wrest]

В случае жидкой планеты, есть вопрос как это:

EUgeneUS в сообщении #1600494 писал(а):

Под "состоянием устойчивого равновесия" в вопросе понимается устойчивое равновесие без опоры на что-либо.

Согласуется с этим:

EUgeneUS в сообщении #1600557 писал(а):

В этом случае движение пробного тела обязательно приводит к перераспределению зарядов

То есть нужно определение слова "опора на что-либо" и его применимости к жидкой среде.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1600692 писал(а):

То есть нужно определение слова "опора на что-либо" и его применимости к жидкой среде.

Применимость слов "опора на что-либо" к случаю жидкой среды - вопрос философский, конечно.

Поэтому вот этот комментарий:

EUgeneUS в сообщении #1600494 писал(а):

Под "состоянием устойчивого равновесия" в вопросе понимается устойчивое равновесие без опоры на что-либо.

указан только для случая твердой планеты.