Предел суммы

[intex2dx]

Добрый день. Необходимо показать, что данная последовательность стремится к $1/2$ при $n \rightarrow \infty$

$$a_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n^2}\right) $$

Я попробовал рассуждать следующим образом. Разложим каждый логарифм по Тейлору до первого порядка. Получим:

$$a_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} \left(\frac{k}{n^2} + \varepsilon_k \right) = \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} \varepsilon_k $$

Здесь $\varepsilon_k \rightarrow 0$ ($n \rightarrow \infty$). Более точно, $\varepsilon_k = o\left(\frac{k}{n^2}\right)$.
Далее я предполагаю, что каким-то образом можно показать, что вторая сумма в выражении для $a_n$ стремится к нулю при $n \rightarrow \infty$, и тогда получится, что:

$$a_n \rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^2} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n+1}{2n} \right) = \frac{1}{2} $$

Прошу подсказать, как грамотно обосновать, что сумма из $\varepsilon_k$ стремится к нулю (или какой-нибудь другой способ нахождения этого предела).

[mihaild]

Запишите остаточный член в форме Коши, а не Пеано.

[TOTAL]

Оцените сверху и снизу

$$ \left(1 + \frac{k}{n^2}\right) < \left(1 + \frac{1}{n^2}\right)^k $$

$$ \left(1 + \frac{k}{n^2}\right) \left(1 + \frac{n-k}{n^2}\right) > \left(1 + \frac{1}{n}\right) $$

[intex2dx]

Спасибо за предложенные методы, оба помогли решить задачу

[мат-ламер]

Что-то похожее было: https://dxdy.ru/topic154895.html .

[intex2dx]

Да, именно эта задачу я и решал исходно. Причем метод, предложенный TOTAL удобнее применять к ней сразу, без логарифмирования