О вариации мю-операции(примитивно-рекурс. функции).

[Tcirkubakin]

Здравствуйте. Возник вопрос с вариацией $\mu$-операции (определение $\mu$-операции дано в конце 221 страницы: https://archive.org/details/a-concise-i ... 1/mode/1up ; на следующей странице дана вышеупомянутая функция): $ \mu k \le h \vec{a} \left[ P\left(\vec{a},k \right) \right] \colon \! = \mu k \le m \left[ P\left(\vec{a},k \right)\ \wedge \ m = h \vec{a} \right] $. Если целью является такая же функция, только с заменой $m$ на $h \vec{a}$, то получается следующее: если предикат $(\exists k \le m) \left[ P\left(\vec{a},k \right)\ \wedge \ m = h \vec{a} \right]$ выполняется (нашлось подходящее k), то, согласно "case distinction" и определению $\mu$-функции, значение функции равно $k\le h \vec{a}$ (от переменной m избавились - предикат не может выполняться, если $m$ не равно $h \vec{a}$). Но если предикат $(\exists k \le m) \left[ P\left(\vec{a},k \right)\ \wedge \ m = h \vec{a} \right]$ не выполняется (не нашлось подходящего k), то ничто(?) не обязывает часть предиката $m = h \vec{a}$ выполняться, и, следовательно, значение функции вполне себе может быть равно m (от переменной m не избавились), а на 222 странице эта функция задается исключительно на векторе $\vec{a}$. В чём моя ошибка и почему, например, нельзя было задать эту функцию, как композицию результата $\mu$-операции(так как она примитивно-рекурсивная) с $h \vec{a}$ ?