Линейная алгебра ||v_k|| <= 1; v_1 + ... + v_s = 0

[KhAl]

Пусть в $n$-мерном эвклидовом пространстве задано $s$ векторов $v_1, \dots, v_s$ таких, что $v_1 + \dots + v_s = 0$ и для всех $k$ длина $||v_k|| \leqslant 1$.

1. Доказать или опровергнуть, что всегда найдутся $i, j$ такие, что $||v_i + v_j|| \leqslant 1$.

2. Доказать или опровергнуть, что всегда найдутся попарно различные $i(1), \dots, i(s) \in \{1, \dots, s\}$ такие, что (можно поменять порядок индексов так, что...)

$$\left\{ \begin{array}{lcl} ||v_{i(1)} + v_{i(2)}|| &\leqslant& 1\\ ||v_{i(1)} + v_{i(2)} + v_{i(3)}|| &\leqslant& 1\\ & \vdots & \\ ||v_{i(1)} + v_{i(2)} + \dots + v_{i(n)}|| &\leqslant& 1\\ \end{array} \right.$$

"собственные содержательные попытки решения"...

Когда $s = n+1$ и концы векторов образуют вершины правильного тетраэдра, утверждения верны, причём для $n=2$ оно верно "впритык": сумма любых двух векторов имеет длину $1$. Это заставляет думать, что утверждения скорее верны, чем нет. Очевидных контрпримеров не вижу. Лезущее в голову предположение, что для любого $v_i$ найдётся $v_j$ такое, что $||v_i + v_j|| \leqslant 1$, (из него бы легко следовали оба пункта), неверно.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).
- озаглавьте тему словами.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[svv]

KhAl в сообщении #1600290 писал(а):

Когда $s = n+1$ и концы векторов образуют вершины правильного тетраэдра, утверждения верны

У меня для $n=3, s=4$ получается, что нет.

Возьмём куб с вершинами $\frac 1{\sqrt 3}(\pm 1,\pm 1, \pm 1)$. Концы векторов
$\begin{array}{l}v_1=\frac 1{\sqrt 3}(+1,+1,+1)\\v_2=\frac 1{\sqrt 3}(+1,-1,-1)\\v_3=\frac 1{\sqrt 3}(-1,+1,-1)\\v_4=\frac 1{\sqrt 3}(-1,-1,+1)\end{array}$
будут вершинами правильного тетраэдра. Длина каждого вектора $1$, длина суммы двух разных векторов $\frac 2{\sqrt 3}>1$.

[KhAl]

svv
Ох. Я почему-то думал, что при увеличении размерности углы между "векторами тетраэдра" затупляются, а они заостряются.

А вот ещё вопрос: можно ли сохранить пункт 2, заменив единицу справа некоторым числом, зависящим только от $n$?

[svv]

KhAl
Да, в случае правильного $n$-мерного симплекса чем больше $n$, тем меньше угол между векторами, но он всегда больше прямого.

Этот случай разбирается легко. Считаем длину всех векторов единичной. Скалярное произведение двух равных векторов равно $1$, а двух различных $(-\frac 1 n)$.
Нас интересует длина суммы $m\leqslant s$ различных векторов из исходного набора $v_1,...,v_s$, где $s=n+1$. В силу симметрии длина не зависит от того, какие $m$ векторов выбраны. Будем считать, что это векторы $v_1,v_2,...,v_m$:
$\left|\sum\limits_{k=1}^m v_k\right|=\sqrt{\sum\limits_{k,\ell=1}^m(v_k,v_\ell)}=\sqrt{m\cdot 1+(m^2-m)(-\frac 1 n)}=\sqrt{\frac{m(n+1-m)}{n}}$
Можно найти максимум этого выражения как функции целого $m$ при фиксированном $n$. Если существует оценка $f(n)$, о которой Вы говорите (число в правой части неравенств п.2), она не может быть меньше этого максимума (но может быть больше). Это всё, что я могу сказать.