Тепловое излучение

[Mathew Rogan]

Подскажите, пожалуйста, ошибка в ответах или я что-то упустил.

Савченко 5.11.13*. Накальная нить радиуса $r$ экранируется тремя цилиндрами радиуса $R$, $2R$ и $3R$. Температура нити $T_0$. Определите температуру внешнего экрана. Материал нити и экрана одинаков, степень черноты $\varepsilon = 1$.

Как я рассуждаю: все результирующие потоки между цилиндрами направлены наружу; в состоянии равновесия поток от нити к первому экрану равен потоку от первого ко второму, который равен потоку от второго к третьему, а он, в свою очередь, равен потоку от третьего наружу:

$\sigma (T_0^4 - T_1^4)2\pi r L = \sigma (T_1^4 - T_2^4)2\pi R L, $
$\sigma (T_1^4 - T_2^4)2\pi R L = \sigma (T_1^4 - T_2^4)2\pi\cdot 2R\cdot L, $
$\sigma (T_2^4 - T_3^4)2\pi\cdot 2R\cdot L = \sigma T_3^4\cdot2\pi\cdot 3R\cdot L. $

Решая систему, находим, что $T_2^4 = 2,5T_3^4, T_1^4 = 5,5T_3^4$, и в результате: $T_3 = \frac{T_0}{\sqrt[4]{5,5 + 3R/r}}.$

В задачнике ответ $T_3 = \frac{T_0}{\sqrt[4]{6,5 + 4R/r}}.$

[10mV]

Mathew Rogan в сообщении #1599771 писал(а):

$\sigma (T_2^4 - T_3^4)2\pi\cdot 2R\cdot L = \sigma T_3^4\cdot2\pi\cdot 3R\cdot L. $

В левой части уравнения $T_3$ излучает с радиуса $2R$, хотя я бы подумал о $3R$, как и в правой части. Зачем оно так поступает ?

[Mathew Rogan]

Во втором уравнении системы у меня опечатка (забыл поменять индексы у температур в правой части). Должно быть так:

$\sigma (T_0^4 - T_1^4)2\pi r L = \sigma (T_1^4 - T_2^4)2\pi R L, $
$\sigma (T_1^4 - T_2^4)2\pi R L = \sigma (T_2^4 - T_3^4)2\pi\cdot 2R\cdot L, $
$\sigma (T_2^4 - T_3^4)2\pi\cdot 2R\cdot L = \sigma T_3^4\cdot2\pi\cdot 3R\cdot L. $

-- 04.07.2023, 15:55 --

10mV в сообщении #1599776 писал(а):

Mathew Rogan в сообщении #1599771 писал(а):

$\sigma (T_2^4 - T_3^4)2\pi\cdot 2R\cdot L = \sigma T_3^4\cdot2\pi\cdot 3R\cdot L. $

В левой части уравнения $T_3$ излучает с радиуса $2R$, хотя я бы подумал о $3R$, как и в правой части. Зачем оно так поступает ?

В левой части стоит поток излучения со второго цилиндра. Он равен произведению результирующей плотности потока на его площадь. Площадь третьего сюда вставлять нельзя: по такой логике, если бы вместо третьего экрана было просто неограниченное воздушное пространство с температурой $T_3$, то какую площадь брать? Не бесконечную же.

[10mV]

Mathew Rogan в сообщении #1599804 писал(а):

В левой части стоит поток излучения со второго цилиндра. Он равен произведению результирующей плотности потока на его площадь.

То есть поток с поверхности $2R$ наружу как-то зависит не только от его температуры, но и температуры $T_3$ ? Закон товарищей Стефана+Больцмана должен иметь две температуры ?

[Mathew Rogan]

Лучше сказать, что это результирующий поток между поверхностями

[10mV]

Так как получен этот результирующий поток, какой закон использован ?

[Mathew Rogan]

https://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node137.html

Если цилиндр один, поток с него $Q = \sigma T_1^4 S_1.$ Если окружить его вторым цилиндром, поток между ними будет $Q = \sigma (T_1^4 - T_2^4)S_1.$

[10mV]

Спасибо, что послали.

Mathew Rogan в сообщении #1599821 писал(а):

$Q = \sigma (T_1^4 - T_1^4)S_1.$

Там где-то есть прямо вот это ?

[Mathew Rogan]

10mV в сообщении #1599823 писал(а):

Спасибо, что послали.

Mathew Rogan в сообщении #1599821 писал(а):

$Q = \sigma (T_1^4 - T_1^4)S_1.$

Там где-то есть прямо вот это ?

Да, есть, с точностью до обозначений.
This can be used to find the net heat transfer from 2 to 1.
$\dot{Q}_{2-1} = A_1 (E_2 - E_1).$

$A_1$ - площадь внутреннего, $E_1, E_2$ - плотности потоков. У них внешний более горячий, поэтому из второго потока первый вычитается.

[10mV]

Ага и плотности потоков $E_2, E_1$ это ?...
Рекомендую подумать не о чьих-то решениях конкретных задач, а известном законе и потоках тепла от $2R$ наружу и потоке от $3R$ внутрь...

[Mathew Rogan]

Изначально я пытался составлять систему так (сигмы и прочие сокращающиеся коэффициенты опущу):
$T_0^4 r - T_1^4 R = T_1^4 R - T_2^4 2R, $T_1^4 R - T_2^4 2R = T_2^4 2R - T_3^4 3R, T_2^4 2R - T_3^4 3R = T_3^4 3R.

Но тогда ответ ещё дальше от книги:
$T_3 = T_0 \sqrt[4]{r/12R}.$

[EUgeneUS]

Mathew Rogan в сообщении #1599833 писал(а):

Изначально я пытался составлять систему так (сигмы и прочие сокращающиеся коэффициенты опущу):

Это неверно вот по какой причине.
Рассмотрим только два внутренних цилиндра.
Если внешний из них не излучает наружу (внешняя сторона абсолютно зеркальная), то температуры цилиндров должны уравняться. Второе начало термодинамики велит. А в этом варианте не уравниваются.

[Mathew Rogan]

EUgeneUS в сообщении #1599835 писал(а):

Mathew Rogan в сообщении #1599833 писал(а):

Изначально я пытался составлять систему так (сигмы и прочие сокращающиеся коэффициенты опущу):

Это неверно вот по какой причине.
Рассмотрим только два внутренних цилиндра.
Если внешний из них не излучает наружу (внешняя сторона абсолютно зеркальная), то температуры цилиндров должны уравняться. Второе начало термодинамики велит. А в этом варианте не уравниваются.

Да, я тоже пришёл к тому, что это не может быть верным по нескольким соображениям.

[Dedekind]

Mathew Rogan
У Вас выглядит правильно, похоже на опечатку в учебнике.

[Mathew Rogan]

Dedekind в сообщении #1599838 писал(а):

Mathew Rogan
У Вас выглядит правильно, похоже на опечатку в учебнике.

Я когда первый раз решал, ошибочно посчитал 7,5 - 2 = 6,5 и получил ответ в точности как в книге :)