Число 2520

[_dlxren_]

Миша задумал трехзначное число n и сообщил его 10 друзьям. Первый из них рассказал, что n делится на все числа от 1 до 10, второй объявил, что оно делится на все числа от 2 до 10, третий на все числа от 3 до 10, и так далее. Наконец, 10-й друг сообщил, что оно делится на 10. Известно, что из 10 друзей по крайней мере трое сказали правду. Какие числа задумал Миша? Укажите сумму всех возможных чисел подсказка сумма двух

[TOTAL]

Подсказка: известно, кто сказал правду.

[Null]

_dlxren_, это олимпиадная задача или должны быть попытки решения?

[Gagarin1968]

А заголовок темы - это ответ?
Поработайте с числами $360$, $720$, $980$. На первое время хватит.

[gris]

не вытерпел и попробовал перебор
{for( n=100,999,
if( vecsum(vector( 10,j, vecsum(vector(10,j,n%j==0)[j..10])==11-j ))>2, print(n) );
)}
Два числа получилось
А если до миллиарда перебрать, то и заголовошное число вылезает.

[waxtep]

Первые семь друзей - тамбовские волки!

[Евгений Машеров]

Gagarin1968 в сообщении #1599686 писал(а):

Поработайте с числами $360$, $720$, $980$. На первое время хватит.

Вы имели в виду 1080? Но оно не трёхзначное.

[Gagarin1968]

Евгений Машеров в сообщении #1599699 писал(а):

Gagarin1968 в сообщении #1599686 писал(а):

Поработайте с числами $360$, $720$, $980$. На первое время хватит.

Вы имели в виду 1080? Но оно не трёхзначное.

Евгений Машеров
Нет, я имел в виду те именно те трёхзначные числа, которые упомянул. И предложил топикстартеру проанализировать , подходят они, или нет, и почему.

[Евгений Машеров]

Утверждение первого друга самое сильное. Если оно выполняется, выполняются и все утверждения последующих друзей. Аналогичное верно и для всех прочих - если верно утверждение n-ного, то верно и утверждение m-того друга, $m>n$ Поскольку заявлено, что по крайней мере трое правы, следовательно, правду сказали 8,9 и 10 номера, то есть делится на 8, 9 и 10. НОК этих чисел 360, но подойдут и кратные ему, а трёхзначное кратное трёхсотшестидесяти это 720, все прочие четырёх- и более значные. Трёхзначного числа, делящегося на 7, 8, 9 и 10 нет, самое маленькое такое число это 2520. То есть седьмой соврал, как и все до него, несмотря на то, что 360 и 720 делятся на 6, 5, 4, 3, 2 и (сюрприз! сюрприз!) 1.
Таким образом, два возможных это 360 и 720, а сумма их 1080.

[Yadryara]

Евгений Машеров, а что Правила изменили? В ПР/Р теперь можно решать за ТС ?

[Gagarin1968]

Yadryara
Это олимпиадная задача, но очень старая, навскидку - времён московской Олимпиады.
Просто топикстартер ошибся с разделом.

[Евгений Машеров]

Yadryara в сообщении #1599704 писал(а):

Евгений Машеров, а что Правила изменили? В ПР/Р теперь можно решать за ТС ?

Стилистика задачи явно не учебная. Олимпиадная, но для младших классов.