Информация о гладкости функции по ее преобразованию фурье

[meshok]

Доброго времени суток!
Пусть $f,f'\in L_1(\mathbb{R})$, тогда $\widehat{f'}(\omega)=i\omega\widehat{f}(\omega)$. И поскольку $\widehat{f'}(\omega)\to 0, |\omega|\to+\infty$, то $\widehat{f}(\omega)=o(|\omega|^{-1})$.
Предположим, что нам, наоборот, известно, что $\widehat{g}(\omega)=o(|\omega|^{-1})$ (или $\widehat{g}(\omega)=o(|\omega|^{-\alpha}),\quad 0<\alpha<1$), можно ли тогда что-нибудь сказать о гладкости функции $g$?
Кажется, что абсолютной непрерывности на всей прямой не будет, но может тогда гельдеревость с каким-нибудь показателем $\alpha_0<\alpha$?