Плотность специального подмножества натуральных чисел

[mathematician123]

Подмножество натуральных чисел $A$ таково, что $ab \notin A$ для любых $a, b \in A$. Насколько большую плотность может иметь множество $A$?

Пример плотности $\frac{1}{3}$ построить легко. Можно взять числа, в разложение которых на простые двойка входит в нечётной степени. Более сложный пример: множество чисел представимых в виде произведения нечётного числа простых (не обязательно различных). Это множество имеет плотность $\frac{1}{2}$.

Можно ли привести пример плотности больше $\frac{1}{2}$? Есть гипотеза, что нельзя, но доказать не получается.

[mihaild]

Можно с плотностью $1$ - Product-free sets with high density, но доказывается нетривиально.

[ozheredov]

mihaild в сообщении #1598987 писал(а):

Product-free

Фига се, то есть такая задача уже ставилась???? (В смысле, кому-то приходил в гллову класс объектов, описанных в стартовом посте.) Кому и зачем это могло понадобиться?

[mathematician123]

mihaild
Спасибо! Только там не плотность 1, а плотность $1 - \varepsilon$. Плотность $1$ нельзя, так как можно взять фиксированное $c \in A$ и рассмотреть произведения вида $cd$, где $d \in A$.Все такие произведения не будут элементами $A$, но плотность множества таких произведений положительная.

[mihaild]

ozheredov, да, причем, поскольку я откуда-то уже помнил название "product free", она должна быть довольно известной.
mathematician123, да, я что-то затупил, что тут нельзя на начальном отрезке построить с одной плотностью, потом добавить с большей, и т.д.

[mathematician123]

У меня вопрос про эти множества возник после решения одной задачи из ВСОШ. В её формулировке такое множество использовалось. Про применение таких множеств ничего не знаю.

Кстати, легко привести пример множеств с сколь угодно близкой к 1 верхней асимптотической плотностью. Например, для плотности $\frac{9}{10}$ можно взять объединение отрезков $[10^1, 10^2 - 1]$, $[10^4, 10^5 - 1]$, $[10^{10}, 10^{11} - 1]$ и т. д.