Лин.оболочка и подпр-ва

[Xo4y3HaTb]

Несколько вопросов по лин. оболочке и подпространствам. Вопрос 1: Сказано (смотрю лекции), собственными подпространствами $R^2$ являются любые прямые проходящие через т.0. Так же даётся лемма: $\forall$ A$\subseteq R^n$, <A> - подпр-во (A - произв. подмн-во, <A> - лин. оболочка).
Рассмотрим случай: $R^2$, A= $\left\lbrace (x,y): y=2+x, x\in [4;6]\right\rbrace$. Тогда <A> = $\left\lbrace (x,y): y=2+x, x\in R\right\rbrace\ $ \cup$ {0;0}. Получили в $R^2$ подпространство, которое является прямой не проходящей через точку {0;0} объединённой с точкой {0;0}. Следовательно, собственными подпространствами $R^2$ являются не только любые прямые проходящие через т.0, а также любые прямые объединённые с т.0? (Аналогично с $R^3$)
Вопрос 2: Пусть A ={2}, $R^1$ (т.е. A подмножество $R^1$ состоящее из 1 элемента/точки с координатой 2). Данному подмножеству A принадлежит один нулевой вектор, но можно составить бесконечное множество ЛК подставляя разные коэфф. Все эти ЛК будут равны 0. Вопрос: Лин. оболочка это множество состоящее из 1 элемента т.е. нулевого вектора ( т.к. все ЛК равны ему) или это континуальное мн-во т.к. коэфф. $\in R\ ?
Вопрос 3: Правильно ли понимаю, что если в $R^2$ A представляет из себя 2 не параллельных отрезка, то <A> (лин.оболочка) представляет собой $R^2$. Если в $R^3$ А представляет из себя 3 отрезка не лежащих в одной плоскости, то <A> (лин.оболочка) представляет собой $R^3$?

[мат-ламер]

Xo4y3HaTb в сообщении #1598596 писал(а):

Тогда <A> = $\left\lbrace (x,y): y=2+x, x\in R\right\rbrace\ $ $\cup$ {0;0}.

Просто интересно, по какому алгоритму вы вычисляете линейные оболочки? Чисто интуитивно?

[Ende]

Xo4y3HaTb
Чтобы использовать в формулах фигурную скобку, ставьте перед ней слэш: \{2\} отображается как $\{2\}$. Угловые скобки задаются так: \langle A \rangle. Получается $\langle A \rangle$.

[mihaild]

($\TeX$)

Угловые скобки пишутся так: \langle A \rangle, получается $\langle A \rangle$. Перед фигурными надо ставить \. Вещественные числа обозначаются как $\mathbb R$.

Xo4y3HaTb в сообщении #1598596 писал(а):

Тогда $\langle A \rangle = \left\lbrace (x,y): y=2+x, x\in R\right\rbrace\ \cup \{0;0\}$

Это неправда. Например точка $u = (0, 2)$ принадлежит $A$, но $1/2 \cdot u = (0, 1)$ Вашему кандидату в линейные оболочки не принадлежит.

Xo4y3HaTb в сообщении #1598596 писал(а):

Данному подмножеству A принадлежит один нулевой вектор

Нет, не принадлежит (а слова "один нулевой вектор" звучат странно, как будто нулевых векторов может быть несколько).

Xo4y3HaTb в сообщении #1598596 писал(а):

Лин. оболочка это множество состоящее из 1 элемента т.е. нулевого вектора ( т.к. все ЛК равны ему) или это континуальное мн-во т.к. коэфф. $\in R\ ?

А просто определение линейной оболочки Вы знаете?

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1598602 писал(а):

А просто определение линейной оболочки Вы знаете?

Пусть $A\subseteq\mathbb{R}^n$ - произвольное подмножество. Линейной оболочкой подмножества $A$ называется $\langle A \rangle = \left\lbrace\lambda_1V_1+...+\lambda_kV_k: V_i\in A, \lambda_i\in \mathbb{R}\right\rbrace$ . (Т.е. я понимаю это как множество всевозможных линейных комбинаций векторов из A и коэффициентов "пробегающих" всю вещ. прямую). Ещё в википедии прочёл вот такое определение: Линейная оболочка $\nu(X)$ подмножества $X$ линейного пространства $V$ - пересечение всех подпространств $V$ содержащих $X$.

мат-ламер в сообщении #1598600 писал(а):

Просто интересно, по какому алгоритму вы вычисляете линейные оболочки? Чисто интуитивно?

Если честно, алгоритма не знаю, поставил лекцию на паузу и начал строить простые примеры, чтоб понять что это за объект (возможно, надо было досмотреть до конца). Рассуждал так: У нас $A$ произвольное множество в $\mathbb{R}^ n$, поэтому могу взять отрезок в $\mathbb{R}^ 2$. Пусть отрезок такой, что прямая содержащая его не проходит через начало координат. $V_i\inA$ значит, что каждый вектор содержится в этом отрезке. Следовательно, все эти вектора коллинеарные, а из этого следует, что вектора образованные арифметическими действиями над исходными (т.е. ЛК) являются коллинеарными. Т.е. какие бы $\lambda$ я ни взял вектор образованный выражением $\lambda_1V_1+...+\lambda_kV_k$ будет лежать на прямой содержащей исходный отрезок и + ещё случай когда все $\lambda=0$. Тут получаем как раз нулевой вектор. Оттого и вывод, что лин. оболочка является мн-вом из прямой содержащей отрезок + точку (0;0). Правда исходя из "2го определения" лин. оболочки в моём примере вообще не существует, т.к. "подпространства содержащие $X$" это прямые проходящие через начало координат и содержащие мой отрезок, а я отрезок задал так, что прямая содержащая его, не проходит через т.0.

mihaild в сообщении #1598602 писал(а):

Нет, не принадлежит (а слова "один нулевой вектор" звучат странно, как будто нулевых векторов может быть несколько).

Разве мы не можем точку рассматривать как нулевой вектор? Например, натыкать на плоскости точки $A,B,C,$ c разными координатами и сказать, что это нулевые векоры $\vec{AA}$,$\vec{BB}$$\vec{CC}$, получили 3 нулевых вектора.

[mihaild]

Определения правильные (только надо, естественно, уметь доказывать из эквивалентность).

Но, видимо, путаница чуть дальше. Если у Вас векторное пространство, то в нём вообще нет никаких точек, только вектора. Я думал, что Вы точками называете вектора с соответствующими координатами, но если нет - надо вернуться чуть назад. Вот есть векторное пространство $\mathbb R^2$. Что Вы понимаете под отрезком в нём?
Пространства, в которых есть точки, и есть вектора от одной точки до другой, называются аффинными, они наверняка будут в лекциях чуть дальше. Но в линейной алгебре, в отличии от школы, более фундаментальными считаются вектора.

Xo4y3HaTb в сообщении #1598649 писал(а):

Правда исходя из "2го определения" лин. оболочки в моём примере вообще не существует, т.к. "подпространства содержащие $X$" это прямые проходящие через начало координат и содержащие мой отрезок, а я отрезок задал так, что прямая содержащая его, не проходит через т.0

Вся плоскость - это тоже подпространство.

[мат-ламер]

Xo4y3HaTb в сообщении #1598649 писал(а):

Т.е. какие бы $\lambda$ я ни взял вектор образованный выражением $\lambda_1V_1+...+\lambda_kV_k$ будет лежать на прямой содержащей исходный отрезок и

Пусть $V_i$ - некая точка на вашем исходном отрезке. И чему равно множество $\lambda V_i$ ?

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1598653 писал(а):

Вот есть векторное пространство $\mathbb R^2$. Что Вы понимаете под отрезком в нём?

Кажись я понял. Отрезок в $\mathbb R^2$ это множество радиус-векторов, концами которого являются точки моего отрезка. т.е. каждая точка моего отрезка является координатой радиус вектора. А я думал так, например, отрезок $CD$ = множество векторов $\vec{CM_1},\vec{CM_2},\vec{M_3M_4},\vec{DM_5} $, где $M_1, M_2,M_3,M_4,M_5 \in CD $

мат-ламер в сообщении #1598656 писал(а):

Пусть $V_i$ - некая точка на вашем исходном отрезке. И чему равно множество $\lambda V_i$ ?

Получается это множество радиус-векторов координаты которых соответствуют точкам прямой проходящей через начало координат и точку c координатами $V_i$
Выходит линейной оболочкой двух ЛН векторов $\mathbb R^2$ будет являться $\mathbb R^2$, а лин. оболочка трёх ЛН векторов в $\mathbb R^3$ это есть $\mathbb R^3$

[мат-ламер]

Xo4y3HaTb в сообщении #1598668 писал(а):

Получается это множество радиус-векторов координаты которых соответствуют точкам прямой проходящей через начало координат и точку c координатами $V_i$

Правильно! И на этом множестве уже будут точки (векторы), которые не входят в

Xo4y3HaTb в сообщении #1598596 писал(а):

Тогда <A> = $\left\lbrace (x,y): y=2+x, x\in R\right\rbrace\ $ $\cup$ {0;0}.

Так что линейная оболочка в вашем первом посту вычислена неправильно. И надо иметь в виду, что линейная оболочка, это всегда линейное подпространство. И для начала неплохо прикинуть, какие вообще бывают линейные подпространства в $R^2$ ? Какой они могут быть размерности? Какая размерность предположительно должна получиться в нашей задаче? И т.д.

[Xo4y3HaTb]

мат-ламер в сообщении #1598676 писал(а):

Так что линейная оболочка в вашем первом посту вычислена неправильно. И надо иметь в виду, что линейная оболочка, это всегда линейное подпространство. И для начала неплохо прикинуть, какие вообще бывают линейные подпространства в $R^2$ ? Какой они могут быть размерности? Какая размерность предположительно должна получиться в нашей задаче? И т.д.

Теперь понял ошибку. Полагаю, в $R^2$ линейное пространство это либо одна прямая, либо само $R^2$. Размерность 1 и 2 соответственно. В нашей задаче размерность 2. Выше я приводил 2 определения. Первое мне понятно, а вот со вторым пока трудности, не могу уловить взаимосвязи. Каждое подпространство должно содержать целиком множество $X$? Если да, то в нашем примере это плоскость, но о каком пересечении идёт речь?

[mihaild]

Xo4y3HaTb в сообщении #1598714 писал(а):

Полагаю, в $R^2$ линейное пространство это либо одна прямая, либо само $R^2$. Размерность 1 и 2 соответственно.

Еще одно подпространство потеряли.

Xo4y3HaTb в сообщении #1598714 писал(а):

Каждое подпространство должно содержать целиком множество $X$?

Да. Мы взяли все подпространства, которые содержат наше $X$ (такие точно есть - хотя бы всё пространство). И взяли их пересечение.

Xo4y3HaTb в сообщении #1598714 писал(а):

Если да, то в нашем примере это плоскость, но о каком пересечении идёт речь?

Пересечением непустого семейства множеств называется множество, элементы которого входят во все множества семейства. Если семейство состоит из одного множества, то пересечение - это просто это самое множество.

[Xo4y3HaTb]

mihaild в сообщении #1598716 писал(а):

Еще одно подпространство потеряли.

Подпространство состоящее из одного нулевого вектора!)

mihaild в сообщении #1598716 писал(а):

Да. Мы взяли все подпространства, которые содержат наше $X$ (такие точно есть - хотя бы всё пространство). И взяли их пересечение.
Пересечением непустого семейства множеств называется множество, элементы которого входят во все множества семейства. Если семейство состоит из одного множества, то пересечение - это просто это самое множество.

Понял!
mihaild
мат-ламер
Спасибо большое за помощь!