Оператор набла в криволинейных координатах

[intex2dx]

Добрый день. При изучении дифференциальных операторов возник следующий вопрос: можно ли записывать дифференциальные операторы, используя оператор набла, в криволинейных координатах и если нет, то почему? Как я понял, с градиентом и взятием производной по вектору проблем нет: $\operatorname{grad} f = \vec{\nabla} f, \ \vec{A}'_{\vec{l}} = (\vec{l}, \vec{\nabla}) \vec{A}$. Однако если рассматривать другие операторы, скажем, ротор, дивергенцию или Лапласиан, то результат, получаемый выражением их через наблу оказывается неправильный.
Например, набла в ортах сферической системы записывается как (за основу я взял формулу для градиента):

$$\vec{\nabla} = \vec{e_r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\vec{e_{\theta}}}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\vec{e_{\varphi}}}{r \sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \varphi} $$

А дивергенция как:

$$\operatorname{div} \vec{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r\sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta} (A_{\theta} \sin{\theta}) + \frac{1}{r\sin{\theta}} \frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi},$$

что явно не равно скалярному умножению на наблу.
Или, например, чтобы применить оператор Лапласа к скаляру/вектору в декартовых координатах, нужно просто применить $\nabla^2$. Но в сферических координатах для скаляра и вектора алгоритм разный:

$$\Delta f = \operatorname{div}(\operatorname{grad} f), \ \Delta \vec{A} = \operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{A}) - \operatorname{rot} \operatorname{rot} \vec{A} $$

То есть, получается, когда мы доказываем различные свойства дифференциальных операторов (например, выражение для $\operatorname{rot} ([\vec{A}, \vec{B}])$) используя при этом наблу, мы негласно работаем в декартовых координатах?

[Geen]

intex2dx в сообщении #1598137 писал(а):

набла в ортах сферической системы записывается как

Это неправильная запись.

intex2dx в сообщении #1598137 писал(а):

за основу я взял формулу для градиента

Для скалярного "аргумента" то, что Вы написали правильно. А в общем случае векторов и прочих тензоров - нет.

[Slav-27]

Да, вы правильно заметили. $\operatorname{grad}, \operatorname{div},\operatorname{rot}$ имеют независимый от выбора координат смысл, а вот выражения $\operatorname{grad}=\vec\nabla$, $\operatorname{div}=\vec\nabla\boldsymbol\cdot$ , $\operatorname{rot}=\vec\nabla\times$ верны для декартовых координат, но не верны для произвольных.

intex2dx в сообщении #1598137 писал(а):

Или, например, чтобы применить оператор Лапласа к скаляру/вектору в декартовых координатах, нужно просто применить $\nabla^2$. Но в сферических координатах для скаляра и вектора алгоритм разный:

$$\Delta f = \operatorname{div}(\operatorname{grad} f), \ \Delta \vec{A} = \operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{A}) - \operatorname{rot} \operatorname{rot} \vec{A} $$

Лучше думать, что лапласиан для скаляров и для векторов -- это разные операторы, обозначаемые одним и тем же символом: для скаляров $\Delta=\operatorname{div}\operatorname{grad}$, для векторов $\Delta=\operatorname{grad}\operatorname{div} - \operatorname{rot} \operatorname{rot}$; эти выражения верны в любых координатах. В декартовых координатах оба оператора можно выразить как $\vec\nabla\cdot\vec\nabla$, а в произвольных -- нет.

Если вы хотите выражения, верные для произвольных координат, то можете всё выражать не через $\vec\nabla$, а через $d$ -- внешний дифференциал: $\operatorname{grad}=\sharp d$, $\operatorname{div}=*d{*}\flat$, $\operatorname{rot}=\sharp{*}d\,\flat$. Если привыкнуть, то доказывать тождества про $\operatorname{grad}, \operatorname{div},\operatorname{rot}$ (а также выводить координатные формулы) с помощью выражений через $d$ даже проще, чем с помощью выражений через $\vec\nabla$; хотя для этого нужно освоить дифференциальные формы, что требует каких-то усилий.

[intex2dx]

Спасибо, что подтвердили мои предположения, как раз хотелось узнать об обобщении выражений для дифф. операторов на произвольные координаты.

[svv]

См. ещё тензорный анализ в произвольных координатах.
Он частично пересекается с теорией дифференциальных форм, о которой говорил Slav-27.