Мат. ожидание возможного значения

[damir_777]

Здравствуйте.
Проходя тему мат. ожидания случайной дискретной величины, у меня появился вопрос: а есть ли формула , которая даёт мат.ожидание возможных значений случайной величины? Ведь мат. ожидание случайной величины даёт среднее самой величны.
Т.е. к примеру есть круг разбитый на неравные сектора: первый сектор занимает 54% круга, второй - 32% и третий - 14%. За вероятность можно принять их процентную разбивку. Можно ли вычислить , при n вращениях какие сектора ожидаемы наиболее и в каком количестве, а какие наименее и в каком количестве?
Мне просто эта тема попалась в генетических алгоритмах. Там есть метод отбора как колесо рулетки. Там как то они это все вычисляют , причем даже от числа вращений не зависит.
Я может просто до этой темы еще в теор. вероятности не дошел), но вот такой вот вопрос

[Dedekind]

damir_777 в сообщении #1598022 писал(а):

Можно ли вычислить , при n вращениях какие сектора ожидаемы наиболее и в каком количестве, а какие наименее и в каком количестве?

Если я правильно понял, то это просто следует из распределения вероятностей. При $n$ вращениях можно ожидать $0.54n$ выпадений первого сектора, $0.32n$ второго и т.д.

damir_777 в сообщении #1598022 писал(а):

Ведь мат. ожидание случайной величины даёт среднее самой величны.

Случайная величина - это функция. Так что мат. ожидание дает именно среднее значение этой функции.

[epros]

damir_777 в сообщении #1598022 писал(а):

даёт мат.ожидание возможных значений случайной величины? Ведь мат. ожидание случайной величины даёт среднее самой величны.

А можете пояснить, чем "возможные значения" случайной величины отличаются от "самой" случайной величины?

[Евгений Машеров]

Ну, сама вероятность выпадения при "честном колесе" (а не покорёженном, как в рассказе Джека Лондона, или вообще "с пружинкой", использовавшейся шулерами) пропорциональна ширине сектора. Наиболее часто будут выпадать более вероятные, наименее - менее вероятные. Среднее число (оно же матожиданий) выпадения данного сектора равно $n_i=Np_i$, где N - общее число испытаний, p - вероятности исходов. Можно поставить задачу, насколько число выпадений в реальности может отклониться от ожидаемого и с какой вероятностью.

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #1598033 писал(а):

Можно поставить задачу, насколько число выпадений в реальности может отклониться от ожидаемого и с какой вероятностью.

Кстати, это очень полезная задача. И формула Байеса здесь всегда в помощь.

Например, вероятность выпадения орлом "честной монеты" обычно считается 50%. Но можно в это не поверить, обозначить её как $p$ и экспериментально оценить эту случайную величину. Если в серии бросков монета выпадет орлом $n^{+}$ раз и не выпадет орлом $n^{-}$ раз, и при этом мы принимаем априорное распределение интересующей нас случайной величины $p$ за равномерное на отрезке $[0,1]$, то по формуле Байеса получим, что апостериорная плотность распределения величины $p$ запишется полиномом вида: $p^{n^{+}}(1-p)^{n^{-}}$ (нужно добавить нормирующий множитель). Т.е. оценка величины $p$ по максимуму вероятности даст $\frac{n^{+}}{n^{+}+n^{-}}$, а оценка по математическому ожиданию (т.е. среднему) даст $\frac{n^{+}+1}{n^{+}+n^{-}+2}$.

[Евгений Машеров]

Полезная, безусловно. Всё страховое дело на этом стоит, управление запасами и прочее.

[damir_777]

Я видел такой вариант вычисления ожидаемого значения :

$$ Expvalsectorone=\frac {54}{100/3}=1.62 $$

$$ Expvalsectortwo=\frac {32}{100/3}\approx 0.96 $$

$$ Expvalsectorthree=\frac {14}{100/3} \approx 0.42 $$

Делим на три так как три сектора. После этого округив до большего целого получаются ожидаемые значения. Если использовать вероятности вместо процентов то результат тот же. Встречали ли вы такую формулу? Что касается умножения числа вращений на вероятность, то есть ожидаемое число событий, там же по формуле вероятности возможных значений должны быть одинаковы

[svv]

Что-то до меня не доходит, вот, например, $1.62$ — это ожидаемое значение какой случайной величины?
Есть вероятность выпадения первого сектора, это $0.54$. Есть мат.ожидание числа выпадений первого сектора при $n$ испытаниях, это $0.54n$. На большее моей фантазии не хватает.

Да, можно ещё найти мат.ожидание случайной величины «номер сектора», оно равно $0.54\cdot 1+0.32\cdot 2+0.14\cdot 3=1.6$. Но это одна величина, а не по одной на каждый сектор.

[Евгений Машеров]

damir_777 в сообщении #1598076 писал(а):

Я видел такой вариант вычисления ожидаемого значения :

$$ Expvalsectorone=\frac {54}{100/3}=1.62 $$

$$ Expvalsectortwo=\frac {32}{100/3}\approx 0.96 $$

$$ Expvalsectorthree=\frac {14}{100/3} \approx 0.42 $$

Делим на три так как три сектора. После этого округив до большего целого получаются ожидаемые значения. Если использовать вероятности вместо процентов то результат тот же. Встречали ли вы такую формулу? Что касается умножения числа вращений на вероятность, то есть ожидаемое число событий, там же по формуле вероятности возможных значений должны быть одинаковы

А где Вы такую прелесть видели?

[epros]

damir_777 в сообщении #1598076 писал(а):

$$ Expvalsectortwo=\frac {32}{100/3}\approx 0.96 $$

$$ Expvalsectorthree=\frac {14}{100/3} \approx 0.42 $$

Загадка в том, почему "примерно" равны.

damir_777 в сообщении #1598076 писал(а):

Делим на три так как три сектора.

Зачем?

damir_777 в сообщении #1598076 писал(а):

После этого округив до большего целого получаются ожидаемые значения.

Что такое "ожидаемые значения"? Значения чего?

damir_777 в сообщении #1598076 писал(а):

Что касается умножения числа вращений на вероятность, то есть ожидаемое число событий, там же по формуле вероятности возможных значений должны быть одинаковы

Вы сейчас о чём вообще? Вам же сказали, что вероятности попадания в сектора - 54%, 32% и 14% - соответственно их площадям, независимо ни от какого количества испытаний. Если не верите, что это честная рулетка, проведите серию экспериментов и оцените вероятности как частоты попаданий.

Или Вы о чём?

[damir_777]

Евгений Машеров в сообщении #1598090 писал(а):

damir_777 в сообщении #1598076 писал(а):

Я видел такой вариант вычисления ожидаемого значения :

$$ Expvalsectorone=\frac {54}{100/3}=1.62 $$

$$ Expvalsectortwo=\frac {32}{100/3}\approx 0.96 $$

$$ Expvalsectorthree=\frac {14}{100/3} \approx 0.42 $$

Делим на три так как три сектора. После этого округив до большего целого получаются ожидаемые значения. Если использовать вероятности вместо процентов то результат тот же. Встречали ли вы такую формулу? Что касается умножения числа вращений на вероятность, то есть ожидаемое число событий, там же по формуле вероятности возможных значений должны быть одинаковы

А где Вы такую прелесть видели?

Вообще в книге по ген. алгоритму, но наглядо вот здесь https://www.youtube.com/watch?v=noqszyq ... L&index=13 где то на 4.21 минуте

-- 18.06.2023, 19:20 --

Actual Count в последнем столбце таблицы в видео я так понял это и есть ожидаемые значения, ну округленные до целого

-- 18.06.2023, 19:29 --

epros в сообщении #1598032 писал(а):

damir_777 в сообщении #1598022 писал(а):

даёт мат.ожидание возможных значений случайной величины? Ведь мат. ожидание случайной величины даёт среднее самой величны.

А можете пояснить, чем "возможные значения" случайной величины отличаются от "самой" случайной величины?

Возможные значения - это множество значений которое может принять случайная величина, а сама случайная величина - это элемент данного множества

[Евгений Машеров]

Елико возможно, дайте ссылку на текст. На слух воспринимать не хотел бы.

[Dedekind]

damir_777 в сообщении #1598095 писал(а):

Возможные значения - это множество значений которое может принять случайная величина, а сама случайная величина - это элемент данного множества

Я же Вам в первом сообщении сказал, что это неправильно. Посмотрите определение случайной величины. Скорее всего, в этом причина Вашего непонимания.

[damir_777]

Формула:

Ну и распределение по самому кругу вышеприведенной таблицы

Ну это из книги Introduction to Genetic Algorithm. Авторы Sivanandam и Deepa.
Единственно не понятно зачем вероятность вычислять, если она не используется в вычислениях ожидаемого значения.

-- 18.06.2023, 20:24 --

Dedekind в сообщении #1598100 писал(а):

damir_777 в сообщении #1598095 писал(а):

Возможные значения - это множество значений которое может принять случайная величина, а сама случайная величина - это элемент данного множества

Я же Вам в первом сообщении сказал, что это неправильно. Посмотрите определение случайной величины. Скорее всего, в этом причина Вашего непонимания.

Ну да, согласен . Это функция. То есть если даже график строить то сам график это зависимость возможных значений от вероятности. Вы пишиет нужно умножить вероятности на количество вращений. Я правильно понимаю, что этим мы ищем мат. ожидание числа появления событий в независимых испытаниях (т.е. среднее количества появления каждого сектора)?
Просто ссылаясь сюда https://studme.org/290231/matematika_hi ... spytaniyah
вероятности каждого события должны быть одинаковы, а у нас разные сектора по размеру, и вероятности разные.
Хотя я может вас не правильно понял, извините если что)

[Dedekind]

damir_777 в сообщении #1598101 писал(а):

Я правильно понимаю, что этим мы ищем мат. ожидание числа появления событий в независимых испытаниях (т.е. среднее количества появления каждого сектора)?

Ну да.

damir_777 в сообщении #1598101 писал(а):

Просто ссылаясь сюда https://studme.org/290231/matematika_hi ... spytaniyah
вероятности каждого события должны быть одинаковы

Это где там такое написано?