Доказать, что векторный интеграл нулевой

[intex2dx]

Здравствуйте. Есть такая задача:
Внутри объёма $V$ вектор $ \vec{A} $ удовлетворяет условию $\operatorname{div} \vec{A} = 0 $, а на границе объёма (поверхность $S$) - условию $ A_n = 0 $. Доказать, что:

$$\int\limits_{V} \vec{A} dV = 0$$

Можете подсказать, как здесь использовать тот факт, что $A_n = 0$? Пока что я использовал только условие того, что дивергенция нулевая и записал вектор $\vec{A}$ как ротор некоторого другого вектора:

$$\vec{A} = \operatorname{rot} \vec{B}$$

Тогда искомый интеграл:

$$\int\limits_{V} \vec{A} dV = \int\limits_{V} (\operatorname{rot} \vec{B}) dV = \oint\limits_{S} [\vec{B}, \vec{n}] dS $$

Но показать, что этот интеграл нулевой у меня пока не получилось.

[svv]

intex2dx
Вместо $\vec A$ я буду писать $\mathbf u$, хорошо?

Есть такое векторное тождество (см., например, Вики, статья Дивергенция, пункт Свойства):
$\operatorname{div}(\varphi\mathbf u)= \operatorname{grad}\varphi \cdot \mathbf u+\varphi\,\operatorname {div}\mathbf u$
Проинтегрируем его по области. Слева объёмный интеграл преобразуется по теореме Гаусса в поверхностный. Получим:
$\oint\limits_S \varphi\underbrace{\mathbf u\cdot\mathbf n}_{=0}\,dS=\int\limits_V \operatorname{grad}\varphi \cdot \mathbf u\,dV+\int\limits_V \varphi\,\underbrace{\operatorname {div}\mathbf u}_{=0}\,dV$
Отсюда
$\int\limits_V \operatorname{grad}\varphi \cdot \mathbf u\,dV=0$
Если в качестве скалярного поля $\varphi$ брать последовательно координаты $x,y,z$, то $\operatorname{grad}\varphi$ будет равен соответственно базисным ортам $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$, а выражение $\operatorname{grad}\varphi \cdot \mathbf u$ даст компоненты $u_x,u_y,u_z$. Но раз интеграл от любой компоненты поля $\mathbf u$ по области нулевой, то и интеграл от самого поля $\mathbf u$ тоже нулевой.

На это решение меня навела физическая аналогия. Пусть $\mathbf u$ — это поле скоростей несжимаемой жидкости, которая как-то движется в пределах области, не проходя через границы (нормальная к границе компонента скорости $u_n=0$). Так как жидкость несжимаемая, $\operatorname{div}\mathbf u=0$ в силу уравнения неразрывности. Постоянную плотность жидкости считаем единичной. Тогда интеграл $\int\limits_V \mathbf u\,dV$ — это полный импульс всей жидкости в пределах области. Поле скоростей не зависит от времени, поэтому и импульс не зависит от времени. Но импульс равен массе жидкости, умноженной на скорость центра масс. А центр масс неподвижен. Значит, и импульс равен нулю.

[intex2dx]

Действительно неплохая аналогия, ещё раз спасибо