intex2dxВместо

я буду писать

, хорошо?
Есть такое векторное тождество (см., например,
Вики, статья Дивергенция, пункт Свойства):

Проинтегрируем его по области. Слева объёмный интеграл преобразуется по теореме Гаусса в поверхностный. Получим:

Отсюда

Если в качестве скалярного поля

брать последовательно координаты

, то

будет равен соответственно базисным ортам

, а выражение

даст компоненты

. Но раз интеграл от любой компоненты поля

по области нулевой, то и интеграл от самого поля

тоже нулевой.
На это решение меня навела физическая аналогия. Пусть

— это поле скоростей несжимаемой жидкости, которая как-то движется в пределах области, не проходя через границы (нормальная к границе компонента скорости

). Так как жидкость несжимаемая,

в силу уравнения неразрывности. Постоянную плотность жидкости считаем единичной. Тогда интеграл

— это полный импульс всей жидкости в пределах области. Поле скоростей не зависит от времени, поэтому и импульс не зависит от времени. Но импульс равен массе жидкости, умноженной на скорость центра масс. А центр масс неподвижен. Значит, и импульс равен нулю.