непредставление в виде суммы куба и квадрата

[ovalox]

Доказать, что для любого заданного $a\in\mathbb{N}$ найдётся $n>a, n\in\mathbb{N}$ такое, что $n$ не представимо в виде суммы куба и квадрата натуральных чисел. Имеется в виду, что $\nexists x,y\in\mathbb{N}$ таких, что $x^2 + y^3 = n$.

Задача, судя по всему, не предполагает счёт остатков. Ну, либо же у меня плохо получилось.

К тому же, если число $x$ представимо в виде указанной суммы, то ничего не мешает $x+1,x+2,x+3...$ также быть представимыми. По крайней мере, примитивная программа на плюсах нашла примеры.

Буду признателен за любую идею, спасибо!

[Booker48]

ovalox в сообщении #1597690 писал(а):

К тому же, если число $x$ представимо в виде указанной суммы, то ничего не мешает $x+1,x+2,x+3...$ также быть представимыми. По крайней мере, примитивная программа на плюсах нашла примеры.

Странно. Вот $52$ представимо, а $53$ - вряд ли.
Это последовательность A066650.

[zykov]

Комплементарная последовательность A055394.
Там сказано

Цитата:

This sequence was the subject of a question in the German mathematics competition Bundeswettbewerb Mathematik 2017 (see links). The second round contained a question A4 which asks readers to "Show that there are an infinite number of a such that a-1, a, and a+1 are members of A055394". - N. J. A. Sloane, Jul 04 2017 and Oct 14 2017
This sequence was also the subject of a question in the 22nd All-Russian Mathematical Olympiad 1996 (see link). The 1st question of the final round for Grade 9 asked competitors "What numbers are more frequent among the integers from 1 to 1000000: those that can be written as a sum of a square and a positive cube, or those that cannot be?" Answer is that there are more numbers not of this form. - Bernard Schott, Feb 18 2022

Думаю, если посмотреть солюшен к этим задачам, то может будут подсказки.

[mihaild]

Просто из мощностей. Понятно, что $x \leq \sqrt{n}$, $y \leq \sqrt[3]{n}$. Сколько всего таких пар?

[ovalox]

да, действительно. смешно, что задачу с древнего всероса решил, а на этой, откровенно говоря, затупил. из банальной оценки того, что среди чисел от $1$ до $n$ есть не более $\sqrt[6]{n^5}$, представимых в виде суммы квадрата и куба, следует утверждение